5.1.1变化率问题-【361课堂】2022-2023学年高二数学同步“导思议展评测”精品课件(人教A版2019选择性必修第二册)

5.1导数的概念及其意义 五、一元函数的导数及其应用 1 章前导入 2 5.1导数的概念及其意义 五、一元函数的导数及其应用 5.1.1 变化率问题 3 课程标准 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬间变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬间变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想； 2.体会极限思想； 3.通过函数图象直接理解导数的几何意义。 4 课堂导入 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？ 下面我们就来研究这个问题. 5 一 二 三 教学目标 会求函数在某一点附近的平均变化率，理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念 会求抛物线的切线斜率，体会数学的极限思想 通过本节课的学习，培养起数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 教学目标 难点 重点 新知探究 探究一：理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念 7 新知讲解 精彩的跳水比赛 8 新知讲解 问题1：在跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度(单位：)与起跳后的时间(单位：)存在函数关系： 如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？ 9 新知讲解 视频中，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快。我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态. 例如：在这段时间里，； 在这段时间里，. 在这段时间里， 10 新知讲解 追问1：计算运动员在这段时间里的平均速度，你发现了什么？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 我们发现，运动员在这段时间里的平均速度为0 显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 11 概念生成 1.瞬时速度的定义： 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 2.瞬时速度的计算公式： 把当中无限趋近于时，的极限，记为，为物体在时的瞬时速度. 12 新知讲解 追问2：瞬时速度与平均速度有什么关系？ 你能利用这种关系求运动员在时的瞬时速度吗？ 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是 可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度. 13 新知讲解 为了求运动员在时的瞬时速度，我们在之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当时，在之后；当时，在之前. 当时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的瞬间速度. 14 新知讲解 当时，把运动员在时间段内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格. 当时，在时间段内 当时，在时间段内 当趋近于0时，平均速度趋近于－5. 15 新知讲解 当时，在时间段内 当时，在时间段内 …… …… 追问3：给出更多的值，利用计算工具对应的平均速度的值.当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？ 16 新知讲解 我们发现，当无限趋近于时，即无论从小于的一边，还是从大于的一边无限趋近于时，平均速度都无限趋近于. 事实上，由可以发现，当无限趋于时，也无限趋近于，所以无限趋近于.这与前面得到的结论一致. 数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为. 从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度. 因此，运动员在时的瞬时速度. 17 新知讲解 问题2：(1)求运动员在时的速度； (2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？ 解(1)：因为，所以运动员在时间段 (或)的平均速度为 所以. 18 新知讲解 解(2)：因为 所以运动员在时间段 (或)的平均速度为 所以. 19 新知讲解 求平均速度的一般步骤 (1)先计算对应值的改变量； (2)再计算自变量的改变量； (3)求平均速度. 20 新知探究 探究二：了解抛物线切线的斜率 21 新知讲解 问题3：抛物线的切线的斜率.我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线为例进行研究. 你认为应该如何定义抛物线在点处的切线？ 与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况. 22 新知讲解 追问1：如图，当点沿着抛物线趋近于点时，割线有什