6.1平方根、立方根-【题型分类归纳】2022-2023学年七年级数学下册同步讲与练（沪科版）

6.1平方根、立方根 1．理解算术平方根、平方根、立方根、实数的概念． 2．掌握平方根的特征，会用平方根的特征和性质反推字母符号或值． 一、算术平方根 1.算术平方根的概念及读写法 如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作、读作 “ 根 号a”，其中a叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0。 例子：，5是25的算术平方根，用含有根号的式子可以表示为：； 是的算术平方根，用含有根号的式子可以表示为：。 注意：根号“ ”是算术平方根专用的记号，它表示两个意思： （1）是对根号内的非负数a进行开平方运算，是一种运算符号； （2）是表示非负数a开平方所得的平方根中的算术平方根，又是性质符号． 二、平方根 1.平方根的概念 如果一个数x的平方等于a，即 ，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根，记作、读作 “ 正负根号a”，其中a叫做被开方数． 例子：，5是25的平方根，用含有根号的式子可以表示为：，25的平方根是； 是的平方根，用含有根号的式子可以表示为：的平方根是。 2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 如图，的平方等于4，4的平方根是，所以平方与开平方的运算是互为逆运算，平方根与平方是两 种互逆运算的结果． 注意：由平方根的定义知： 一个正数的平方根有两个、且互为相反数，而算术平方根是两个平方根中取正的那一个； 0的平方根和算术平方根均为0； 负数没有平方根． 三、立方根 如果一个数x的立方等于a，即 ，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根，记作，其中“3”叫做根指数，不能省略，读作“三次根号a” 例子：是-8的立方根，即 ，是的立方根，即 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．易见，开立方与立方也互为逆运算，即 注意： ① 任何一个数都有立方根、且只有一个，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0； ② 平方根等于本身的只有0，算术平方根等于本身的有0和1，立方根等于本身的有0和 。 ． 题型一 平方根、立方根的概念 【例题1】式子表示（    ） A．的算术平方根 B．的算术平方根 C．的平方根 D．的算术平方根 【变式1-1】下列说法中，正确的个数是（   ） 的立方根是； 的算术平方根是； 的立方根是； 的平方根是． A． B． C． D． 【变式1-2】下列说法正确的是（　　） A． B． C．一个数的算术平方根一定是正数 D．9的平方根是 【变式1-3】已知和是一个正数的平方根，则这个正数（　　） A． B．或 C． D．或 【变式1-4】下列各数中，平方根等于它本身的数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 【变式1-5】我国古代的数学著作《九章算术》第四章“少广”中的“开方术”特指开平方运算．将2开平方，结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-6】如果，那么的算术平方根为_______． 【同步测试1-1】64的算术平方根是_______． 【同步测试1-2】的算术平方根是______；的平方根是______；的立方根是______． 【同步测试1-3】已知一个正数的两个平方根分别是和，则x的值为 _____． 【同步测试1-4】用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为__________． 【同步测试1-5】0的平方根有______个． 【同步测试1-6】依据图中呈现的运算关系， 可知：=___________；=___________． 【同步测试1-7】我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为：x＝________；y＝_______；z＝_______； (2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝_______； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①≈　 　；②≈　 　． 【同步测试1-8】一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数的立方根． 题型二 求一个数的算术平方根、平方根、立方根 【例2】已知实数a，b满足：，则等于（    ） A．65 B．64 C．63 D．62 【变式2-1】若是整数，则满足条件的自然数m共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2-2】已知，，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-3】下面是李