17.4 反比例函数 讲义（寒假预习） 2022-2023学年八年级华东师大版数学下册

17.4 反比例函数（附解析） 一、学习目标 1、结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式。 2、能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式y=kx（k≠0）探索并理解其性质（k>0或k<0时，图象的变化）。 3、能用反比例函数解决某些实际问题。 二、知识要点 1、如果y=(或y=kx)(k≠0)，那么y叫做x的反比例函数，自变量x的取值范围是x≠0的实数。 2、反比例函数y=(或y=kx)(k≠0)的图象是由两条曲线组成，叫做双曲线，它们关于原点成中心对称，但与x轴、y轴都无交点，因为xy≠0 3、k>0时，反比例函数y=(或y=kx)的图象在一、三象限，函数y在每个象限内随x的增大而减小。k<0时，反比例函数y=(或y=kx)的图象在二、四象限，函数y在每个象限内随x的增大而增大。 ( y x O P M N )4、反比例函数y=(或y=kx)(k≠0)中比例系数k的几何意义是：过双曲线上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=。如果再连结PO，则。如图。 三、典例分析 1、反比例函数的定义 1．下列函数中，是的反比例函数的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据反比例函数的定义逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．是反比例函数，故该选项符合题意； B．中，是x2021的反比例函数，故该选项不符合题意； C．中，是x+3的反比例函数，故该选项不符合题意； D．不是反比例函数，故该选项不符合题意． 故选：A． 【解题反思】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 2、反比例函数的图象 例2．下列图象中，是函数的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】反比例函数的图象是双曲线，根据、的取值来确定函数的图象所在的象限． 【详解】解：函数中的， 该函数图象经过第一、三象限； 又无论取何值，都有， 函数的图象关于轴对称，即它的图象经过第一、二象限． 故选C． 【解题反思】本题考查了反比例函数的图象．注意，的取值范围是：． 3、反比例函数的性质 例3．若点、和分别在反比例函数的图象上，且，比较，，（用“＜”连接）______． 【答案】 【思路点拨】由反比例函数的解析式可知，然后根据反比例函数的增减性可进行求解． 【详解】解：由反比例函数可知：， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点、和分别在反比例函数的图象上，且， ∴； 故答案为． 【解题反思】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 4、求反比例函数解析式 例4．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的关系式； (2)当时，结合图象直接写出的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)；(2)或；(3) 【思路点拨】（1）先把A、B坐标代入一次函数解析式中求出A、B坐标，进而求出反比例函数解析式即可； （2）根据时自变量的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围进行求解即可； （3）设一次函数与x轴交于点C，求出点C的坐标为，则，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解；∵一次函数与反比例函数的图象交于，两点， ∴， ∴， ∴点A和点B的坐标分别为，， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当或时，； （3）解：设一次函数与x轴交于点C， ∴点C的坐标为， ∴， ∴ 【解题反思】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，图象法解不等式，三角形面积等等，正确求出A、B两点坐标是解题的关键． 四、针对训练 1．给出的下列函数：，，，，，，其中一定是的反比例函数的个数有（　　 ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若反比例函数的图像经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 4．若点，都在双曲线上，且，则的取值范围是（　 　） A． B． C． D． 5．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 6．已知反比例函数，当时，这个函数的图象位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．若函数是反比例函数，则m的值等于_______． 8．反比例函数 的图象经过点 ，则a＝____． 9．某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则这个函数的表达式为________． 10．已知正比例函数与反比例函数