17.3 一次函数 讲义（寒假预习）2022-2023学年华东师大版数学八年级下册

17.3 一次函数（附解析） 一、学习目标 1.理解一次函数的相关概念； 2．掌握一次函数的图象和性质； 3．会求一次函数的解析式． 二、知识要点 1、一次函数、正比例函数的定义 在一次函数y＝kx＋b（一次整式）中，k，b为常数，k≠0，自变量的次数为1.当b=0时，y=kx也叫正比例函数，且它是一次函数（的特例）。 2、一次函数的图象： 一次函数的图象是一条直线。画一次函数图象的方法是：只要先取两对（x，y），描出两点，再过两点作直线就可以了。画正比例函数y=kx的图象，通常取（0，0）和（1，k）两点作直线。画一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象，通常选取和两点作直线。通常，我们把一次函数y=kx+b的图象叫做直线y=kx+b。 3、一次函数图象的平移规律是：上加下减（“在b部分”）；左加右减（“在x部分”） 4、直线与x轴的交点的纵坐标y=0，与y轴的交点的横坐标x=0. 5、k、b决定一次函数y=kx+b图象的位置，其关系如图所示： ( x y O x y O k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＞0，b=0 k＜0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b=0 ) 的正负决定着直线的倾斜程度。当时，直线向右上方倾斜；当时，直线向右下方倾斜，反之也成立。两个一次函数平行时，一次项系数k相同。 而b决定一次函数图象与y轴的交点位置。时，直线与轴的正半轴相交；时，直线（即y=kx）过原点；时，直线与轴的负半轴相交。反之也成立。 6、函数图象的交点坐标就是函数解析式组成的方程组的解 7、一次函数的性质 一般地，正比例函数y=kx和一次函数y=kx+b都有下列性质：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。 8、待定系数法求一次函数解析式 一般步骤是：①根据函数类型写出含有待定系数的解析式形式，目前就是：一般的一次函数形式为y=kx+b，正比例函数为y=kx；②将x、y的一对或几对值代入上述的解析式中，得到待定系数的方程或方程组，注意横坐标代替x，纵坐标代替y；③解方程（或组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数的值代入所设的解析式中。 9、求一个已知解析式的图象关于x轴对称的解析式，就是将解析式中y变为-y，再整理； 求一个已知解析式的图象关于y轴对称的解析式，就是将解析式中x变为-x，再整理； 求一个已知解析式的图象关于原点对称的解析式，就是将解析式中x变为-x，y变为-y，再整理； 三、典例分析 1、一次函数的定义 例1．已知函数是一次函数，则________． 【答案】 【思路点拨】根据一次函数的定义，得到，，即可得到答案． 【详解】解：是一次函数， ， ， 故答案为：． 【解题反思】本题考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 2、一次函数的图象 例2．若一次函数的图象如图所示，则函数在同一坐标系中的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据是一次函数的图象经过一、二、四象限得出k，b的取值范围解答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， 可得， ∴直线的图象经过二、三、四象限， ∴A、D选项符合题意， 又∵和的斜率一样， ∴两个函数图像的倾斜度也一样， 故选D． 【解题反思】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握一次函数图象与系数的关系． 3、一次函数的性质图象 例3．已知点都在直线上，则的大小关系是（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小． 又∵，且点都在直线上， ∴． 故选：A． 【解题反思】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小． 4、求一次函数的表达式 例4．如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，求这个一次函数的表达式及它与轴的交点． 【答案】一次函数的解析式为：；一次函数与轴的交点为 【思路点拨】根据函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式，根据坐标轴上点的坐标特征求出交点坐标． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ， 点的坐标为， 设一次函数的解析式为：， 则， 解得， 一次函数的解析式为：， 当时，， 解得：， 一次函数与轴的交点为． 【解题反思】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求函数解析式以及函数图象与x轴的交点坐标等知识，根据题意确定一次函数图象上两点的坐标是解题的关键． 四、针对训练 1．下列函数中，是一次函数的是（     ） A．