17.2 函数的图象 讲义（寒假预习） 2022-2023学年八年级华东师大版数学下册

17.2 函数的图象（附解析） 一、学习目标 1.理解平面直角坐标系的相关概念 2．理解函数图象的概念，会画函数图象． 3．能从函数图象中读取有“价值”的信息来解决实际问题． 二、知识要点 1、象限与坐标符号如图 ( x y 0 第一象限 （+，+） 第二象限 （－，+） 第四象限 （+，－） 第三象限 （－，－） 1 1 -1 -1 ) 2、坐标轴上的点的特征： 点P(，)在轴上=0． 点P(，)在轴上=0． 点P(，)既在轴上，又在轴上（即原点）、同时为零，即原点坐标为（0，0）． 3、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征： 点P(，)在第一、三象限的夹角平分线上=． 点P(，)在第二、四象限的夹角平分线上+=0． 4、与坐标轴平行的直线上点的坐标的特点： 位于平行于轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于轴的直线上的各点的横坐标相同． 5、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标特征： 点P与点关于轴对称横坐标相同，纵坐标互为相反数． 点P与点关于轴对称纵坐标相同，横坐标互为相反数． 点P与点关于原点对称横、纵坐标均互为相反数。 6、点到坐标轴、点与到原点的距离、点与点的距离 （1）点M（x0,y0）到x轴的距离r=|y0|，即点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值 （2）点M（x0,y0）到y轴的距离r=|x0|，即点到y轴的距离等于横坐标的绝对值 （3）点M（x0,y0）到原点的距离r=（利用勾股定理） ※（4）点M（x1,y1）与M2（x2，y2）的距离r=（利用勾股定理）；特别地：若x1=x2,则r=|y2-y1|；若y1=y2,则r=|x2-x1|. ※7、中点坐标公式：点M（x1,y1）与M2（x2，y2）的中点为P（x,y）；则 8、函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 注意：（1）函数图象上的任意点中的，满足函数关系式； （2）满足函数关系式的任意一对的值，所对应的点一定在函数的图象上； 9、函数图象的画法 画函数的图象，一般可以运用描点法，其一般步骤如下： （1）列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜； （2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为点的横坐标，相应的函数值为点的纵坐标，描出表格中数值对应的各点．描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）之间的关系，描出的点大小要适中，位置要准确； （3）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的线连接起来． 10、从函数图象中分析信：关键是搞清楚各坐标（轴）分别代表什么。 三、典例分析 1、平面直角坐标系 例1．在同一平面直角坐标系内，已知点，，下列结论正确的是（     ） A．线段 B．直线轴 C．点A与点B关于y轴对称 D．线段AB的中点坐标为 【答案】B 【思路点拨】根据平面直角坐标系中点的特点，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．∵点，，纵坐标相同，横坐标不同， ∴直线轴，故B正确，符合题意； C．点A关于y轴的对称点为，故C错误，不符合题意； D．线段AB的中点坐标为，故D错误，不符合题意． 故选：B． 【解题反思】本题主要考查了平面直角坐标系中点的特点，中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的特点． 2、函数图象 例2．如图，在直角梯形中，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，三角形的面积为，图象如图所示． (1)在这个变化中，自变量、因变量分别是______、______；（用字母表示） (2)当点运动的路程时，三角形的面积______； (3)的长为______，梯形的面积为______； (4)当点运动的路程______时，三角形的面积． 【答案】(1)，；(2)；(3)，；(4)或 【思路点拨】（1）依据点运动的路程为，的面积为，即可得到自变量和因变量； （2）依据函数图象，即可得到点运动的路程时，的面积； （3）根据图象得出的长，以及此时三角形面积，利用三角形面积公式求出的长即可；由函数图象得出的长，利用梯形面积公式求出梯形面积即可； （4）当点在边上时，直接由三角形的面积公式列方程求解；当点在边上时，由函数图象求得随变化的规律，进而由面积列出的方程求解便可． 【详解】（1）解：点运动的路程为，的面积为， 自变量为，因变量为， 故答案为：，； （2）由图可得，当点运动的路程时，的面积为， 故答案为：； （3）根据图象得：，此时为， ，即， 解得：； 由图象得：， 则， 故答案为：，； （4）当点在边上时，则， 解得， 当点在边上时， 由图函数图象知，当点在边上时，随增大而匀速减小，且每