16.1 分式及其基本性质 讲义（寒假预习） 2022-2023学年八年级华东师大版数学下册

16.1 分式及其基本性质（附解析） 一、学习目标 1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件； 2.掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 二、知识要点 1.分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 2.分式有意义，无意义或等于零的条件 （1）分式有意义的条件：分母不等于零. （2）分式无意义的条件：分母等于零. （3）分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 3.分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 4.分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 5.分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 6.分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 三、典例分析 1.分式的概念 例1．下列各式：，其中分式有（　 　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】根据分式的定义即可得出答案． 【详解】解：式子：中，其中分式有，，共2个， 故选：B． 【解题反思】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键． 2.分式有意义的条件 例2．如果分式有意义，那么x的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据分式有意义的条件：分式的分母不为0，得出关于x的不等式，解出即可得出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故选：D 【解题反思】本题考查了分式有意义的条件，属于基础题型，分式的分母不为0是分式有意义的前提条件． 3.分式无意义的条件 例3．若代数式无意义，则实数x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：代数式在实数范围内无意义， ， 解得． 故选：A． 【解题反思】此题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是正确把握相关性质． 4.分式的值为零的条件 例4．若分式的值为零，则x的值为______． 【答案】5 【思路点拨】分式的分子为零且分母不为零时分式的值为零，据此解答． 【详解】解：由意义得，且， 解得， 故答案为：5． 【解题反思】此题考查了分式值为零的情况：分子为零，且分母不为零，熟记值为零的特点是解题的关键． 5.分式的基本性质 例5．根据分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【思路点拨】（1）分子乘以可得． （2）先用完全平方公式将分子变形为，将分母变形为，由此可得答案． （3）将分母提取公因式得，由此可知答案． 【详解】（1）分子乘以可得： ， 故答案为：． （2）将分子分母进行因式分解得： ， 故答案为：． （3）将分母提取公因式得， ∴ 故答案为：． 【解题反思】本题主要考查了分式的基本性质，正确运用完全平方公式和平方差公式是解题关键． 四、针对训练 1．代数式中，属于分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若分式有意义，则x的取值范围是（　 　） A． B． C． D． 3．若分式的值为0，则的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．或0 4．已知，，则的值为（　 　） A．2 B． C．3 D． 5．与分式的值相等的是（    ） A． B． C． D． 6．只把分式中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时的值可以是下列中的（     ） A．2 B． C． D． 7．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（     ） A． B． C． D． 8．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 9．观察下面的等式：，，，……按上面的规律归纳出一个一般的结论______（用含n的等式表示，n为正整数）． 10．请写出一个同时满足下列条件的分式： （1）分式的值不可能为零； （2）分式有意义时，a的取值范围是； （3）当时，分式的值为． 你所写的分式为______