第二编 专题七 大题专讲 第4讲 利用导数研究函数的零点问题-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（新教材，创新版）

　　第4讲　利用导数研究函数的零点问题 「考情研析」　以导数为工具，通过研究函数的单调性、极值和最值，求解函数零点或方程解的问题是高考的热点题型． 考向1 利用导数讨论函数零点的个数 例1　(2022·长沙二模)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1). (1)若a＝1，比较f(log2)与f(log59)的大小； (2)讨论函数f(x)的零点个数． 解　(1)因为a＝1，则f(x)＝(x＋1)ln x－(x－1)，f′(x)＝ln x＋－1＝ln x＋.当x>1时，ln x>0，则f′(x)>0， 从而f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 因为log2＝log410>log49>log59>1， 所以f(log2)>f(log59). (2)f′(x)＝ln x＋－a＝ln x＋＋1－a， 设g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝－＝(x>0). 当0<x<1时，g′(x)<0，f′(x)单调递减； 当x>1时，g′(x)>0，f′(x)单调递增， 所以f′(x)min＝f′(1)＝2－a. ①若2－a≥0，即a≤2，则f′(x)≥0，f(x)单调递增． 因为f(1)＝0，则x＝1为f(x)的唯一零点． ②若2－a<0，即a>2，则f′(x)min＝f′(1)<0. 因为ea>1，f′(ea)＝＋1>0，则f′(x)在(1，＋∞)内仅有一个零点，记为n. 因为0<e－a<1，f′(e－a)＝ea－2a＋1. 设h(a)＝ea－2a＋1，则当a>2时，h′(a)＝ea－2>0，所以h(a)在(2，＋∞)上单调递增，从而h(a)>h(2)＝e2－3>0，即f′(e－a)>0， 所以f′(x)在(0，1)内仅有一个零点，记为m. 于是，当x∈(0，m)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(m，n)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(n，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 因为0<m<1<n，f(1)＝0，则f(m)>0，f(n)<0，f(x)在(m，n)内有唯一零点． 因为f(e－a)＝－a(e－a＋1)－a(e－a－1)＝－2ae－a<0，则f(x)在(0，m)内有唯一零点． 因为f(ea)＝a(ea＋1)－a(ea－1)＝2a>0，则f(x)在(n，＋∞)内有唯一零点． 所以f(x)在(0，＋∞)内有3个零点． 综上，当a≤2时，f(x)有1个零点；当a>2时，f(x)有3个零点． 　利用导数研究函数零点或方程根的方法 (1)通过极值(最值)判断零点个数 借助导数研究函数的单调性、极值，通过极值的正负、函数的单调性判断函数图象的走势，从而判断函数零点的个数． (2)构造函数法研究函数零点 ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解； ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． (2022·唐山二模)已知函数f(x)＝，g(x)＝b sin x，曲线y＝f(x)和y＝g(x)在原点处有相同的切线l. (1)求b的值以及l的方程； (2)判断函数h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上零点的个数，并说明理由． 解　(1)依题意，f′(x)＝，g′(x)＝b cos x， 则f′(0)＝g′(0)＝b＝1， ∴b＝1，切线l的方程为y＝x. (2)当x≥时，＝3－≥3－>1≥sin x，此时h(x)>0，无零点； 当0<x<时，h′(x)＝－cos x， 令H(x)＝－cos x，x∈， 则H′(x)＝－＋sin x，显然H′(x)在上单调递增， 又H′(0)＝－<0，H′>0，故存在t∈，使得H′(t)＝0， ∴当0<x<t时，H′(x)<0，H(x)单调递减，当t<x<时，H′(x)>0，H(x)单调递增， 又H(0)＝0，H>0，故存在λ∈，使得H(λ)＝0， 且0<x<λ时，H(x)<0，h′(x)<0，h(x)单调递减，当λ<x<时，H(x)>0，h′(x)>0，h(x)单调递增，又h(0)＝0，h>0，∴h(x)在上有一个零点． 综上，h(x)在(0，＋∞)上有一个零点． 考向2 已知函数的零点个数求参数的取值范围 例2　(2022·南宁二模)设函数f(x)＝a(x－2ln x)＋，a∈R. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围． 解　(1)当a＝1时，f(x)＝x－2ln x＋－，x∈(0，＋∞). 则f′(x)＝1－－＋ ＝. 由f′(x)＝0得x1＝2，x2＝1，x3＝－1(舍去). 当x∈(0，1)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(0，1)，(2，＋∞)上单