广东省广州奥林匹克中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题

2022—2023学年第一学期广奥期末考试A卷

高二数学

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知直线经过点和点，则直线的倾斜角为（  　）

A.  B.  C.  D.

2. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系是（    ）

A. 垂直 B. 平行

C. 相交但不垂直 D. 平行或线在面内

3. 疫情防控期间，某单位把120个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的3倍，则最小一份的口罩个数为（    ）

A. 6 B. 10 C. 12 D. 14

4. 双曲线的离心率为，则的一条渐近线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 在各棱长均相等的直三棱柱中，点M在上，点N在AC上且，则异面直线与NB所成角的正切值为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 圆截直线：所得的弦长最短为（    ）

A.  B. 1 C.  D.

7. 双曲线方程，，为其左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于点A和点B，以为直径的圆恰好经过A点，且，则该双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 数列满足：，，记数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知空间向量，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 在上的投影数量为

10. 已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，的中点，以下说法正确的是（    ）

A. 三棱锥的体积为1 B. 平面EFG

C. 平面EFG D. 平面EGF与平面ABCD夹角的余弦值为

12. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将1到1000这1000个数中能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前n项和为，则（    ）

A.  B.

C.  D. 共有72项

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若直线：与：平行，则的值为_____________．

14. 经过原点的平面的一个法向量为，点坐标为，则点到平面的距离为______.

15. 已知直线，若是抛物线上的动点，则点到直线和它到轴的距离之和的最小值为______

16. 我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3除余 2正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列， 则数列的第10项是数列的第______项.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 等差数列中，．

（1）求等差数列的通项公式；

（2）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和．

18. 已知点，圆.

（1）判断点与圆的位置关系，并说明理由；

（2）当时，经过点的直线与圆相切，求直线的方程.

19. 如图，在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为，，设为侧棱的中点.