精品解析：上海市奉贤中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试卷

上海市奉贤中学2021-2022年高二下期中 数学试卷 一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题） 1. 已知等差数列中，，则数列的通项公式是_____． 2. 1与9的等比中项为______． 3. 已知定义在上函数，则曲线在点处的切线方程是_____． 4. 已知离心率为的双曲线与椭圆有公共焦点，则此双曲线的方程式_____． 5. 已知，则_________． 6. 已知，试用表示经过两点直线的倾斜角_____． 7. 椭圆的一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1，则__． 8. 如图一垛正方体，若共有层，其总个数是_____． 9. 数列满足，当_____时，最小． 10. 在平面直角坐标系中，已知直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，，且，则实数的取值范围为________． 11. 在抛物线上，到的距离是到的距离是，求的最小值_____． 12. 四次多项式四个实根构成公差为2的等差数列.则的所有根中最大根与最小根之差是_________. 二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题） 13. 用数学归纳法证明：（），在验证时，左端计算所得的式子是（　　） A. B. C. D. 14. 已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　　） A. 经过4s后物体向前走了10m B. 物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C. 物体在第4秒内向前走了10m D. 物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s 15. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 16. 已知，，若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题） 17. 设函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；(其中为自然对数的底数) （2）在（1）条件下求的单调区间和极小值． 18. 已知正数列的前项和满足： （1）求证：一个定值； （2）若数列是一个严格增数列，求的取值范围． 19. 某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童．此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，还为公司获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为5000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为20万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）． （1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益； （2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？ 20. 中心在原点的椭圆的两个焦点是、，且、与椭圆短轴一个顶点构成边长为2的正三角形．直线与椭圆相切于点，过作直线的垂线与轴交于，直线与轴交于，点关于轴的对称点是． （1）求椭圆的方程； （2）求； （3）求证：、、、、、六点在同一个圆上． 21. 已知各项为正数的数列的首项是1，满足：，数列的前项项和是． （1）判断数列单调性，并说明理由； （2）求数列通项公式； （3）表示正整数的各个数位上的数字之和，如，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市奉贤中学2021-2022年高二下期中 数学试卷 一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题） 1. 已知等差数列中，，则数列的通项公式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】设公差为d，由基本量代换列方程解出，即可得到通项公式. 【详解】设等差数列的公差为d，由题意可得：， 解得：， 所以. 故答案为：. 2. 1与9的等比中项为______． 【答案】 【解析】 【分析】由等比中项直接求解. 【详解】1与9的等比中项为. 故答案为：. 3. 已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，根据导数的几何意义求出，代入点斜式方程即可求出. 【详解】设曲线在点处的切线斜率为，则由导数的几何意义知，. 由已知可得，，，所以， 所以在点处的切线方程是， 整理可得，． 故答案为：． 4. 已知离心率为的双曲线与椭圆有公共焦点，则此双曲线的方程式_____． 【答案】 【解析】 【分析】设出双曲线方程，根据题意列出方程，求出，，求出方程. 【详解】椭圆焦点在轴上，故设双