第05讲 一元二次方程、分式方程的解法及应用（14个考点）（知识精讲）-冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（通用版）

第05讲 一元二次方程、分式方程的解法及应用（14个考点） 【考纲要求】 1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程； 2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 【知识导图】 【考点梳理】 考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为(a≠0)． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解． （2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解． （3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释： 直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法． 3．一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式为． △>0方程有两个不相等的实数根； △＝0方程有两个相等的实数根； △<0方程没有实数根． 上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释： △≥0方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么． 考点二、分式方程 1.分式方程的定义 分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 要点诠释： （1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量. 　　（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程. 2.分式方程的解法 去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程； (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根. 口诀：“一化二解三检验”. 要点诠释： 解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根． 考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律) 关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题 关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题 其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝×100%． 明确这几个关系式是解决这类问题的关键． (4)关于两个或多个未知量的问题 重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题 对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题． 注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量． 2．解应用题的步骤 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答数是否符合题意，并做答． 要点诠释： 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想． 注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 【典型例题】 一．一元二次方程的解（共2小题） 1．（2022•东坡区校级模拟）若a是x2﹣3x﹣2021＝0的一个根，则a2﹣3a+1的值是（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 2．（2022•东坡区校级模拟）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2