广西钦州市第四中学2022-2023学年高一上学期12月考试数学试卷

广西壮族自治区钦州市第四中学2022-2023学年高一上学期12月考试数学试卷 一、单选题(本大题共12小题,共60分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项) 1. 已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2. 一个笼子里有只白兔,只灰兔,现让它们一一跑出笼子,假设每一只跑出笼子的概率相同,则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔,另一只是灰兔的概率是( ) A. B. C. D. 3. 定义集合运算:B.设,,则集合中所有元素之和为( ) A. B. C. D. 4. 当一个非空数集满足:如果,,则,,,且时,时,我们称就是一个数域以下关于数域的说法:是任何数域的元素若数域有非零元素,则集合是一个数域.有理数集是一个数域其中正确的选项是( ) A. B. C. D. 5. 高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,已知函数,则函数的值域为( ) A. B. C. D. 6. 若在直角坐标平面内的两点,满足条件:,都在函数的图象上,两点关于原点对称,则称点对是函数的一对“友好点对”点对与看作同一对“友好点对”已知函数则此函数的“友好点对”有( ) A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 7. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,函数被称为狄利克雷函数,其中为实数集,为有理数集以下关于狄利克雷函数的五个结论中正确的个数是( ) 对于任意的,都有函数是偶函数函数的值域是 若且为有理数,则对任意的恒成立 在图象上存在三个不同的点,,,使得为等边三角形. A. B. C. D. 8. 设函数若,则( ) A. B. C. 或 D. 或 9. 某林场有树苗棵,其中松树苗棵,为调查树苗的生长情况,采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本,则样本中松树苗的数量为( ) A. B. C. D. 10. 已知,,,则( ) A. B. C. D. 11. 函数的定义域是( ) A. B. C. 且 D. 且 12. 设集合,,若,则等于( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题,共20分) 13. 若函数是幂函数,则函数其中,的图象过定点的坐标为 . 14. 设全集,且的子集可表示由,组成的位字符串,如:表示的是自左向右的第个字符为,第个字符为,其余字符均为的位字符串,并规定空集表示的字符串为已知,,若集合表示的字符串为,则满足条件的集合的个数为 . 15. 已知函数是定义在上的偶函数,且当时,若关于的方程有四个不同的实数解,则实数的取值范围是 . 16. 已知关于的不等式的解集是,则不等式的解集是 . 三、解答题(本大题共5小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 本小题分 定义在非零实数集上的函数对任意非零实数,都满足. 求的值 求的解析式 设函数,求在区间上的最大值. 18. 本小题分 已知函数是偶函数,且当时,,且. 当时,求的解析式 在在上单调递增在上恒有这两个条件中任选一个补充到本题中,求的取值范围. 19. 本小题分 已知函数. 直接写出在上的单调区间无需证明. 求在上的最大值. 设函数的定义域为,若存在区间,满足:,,使得,则称区间为的“区间”已知,若是函数的“区间”,求的最大值. 20. 本小题分 某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况,选择一段长度为的平坦高速路段进行测试,经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量单位:与速度单位:的一些数据如下表所示, 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择: ,,,且. 请选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式. 这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少 21. 本小题分 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民每户月用水量标准吨,用水量不超过的部分按平价收费,超过的部分按议价收费为了了解全市居民每户月均用水量的分布情况,通过抽样,获得了户居民某年的月均用水量单位:吨,将数据按照,,,分成组,制成了如图所示的频率分布直方图. 求频率分布直方图中的值 已知该市有万户居民,估计全市居民中每户月均用水量不低于吨的户数,并说明理由 若该市政府希望使的居民每户每月的用水量不超过标准吨,估计的值,并说明理由. 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.解:令,,得, 令,,得. 由解得. 令,则, 所以, 由以上两式,解得, 即,所以. 由得. 当,即时, 当,即时,. 综上,╔╔h(m)= \ begin{cases}-\dfrac