第二章圆锥曲线 章末复习 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第二章　章末复习课 南阳市五中 题型一　定点问题 例1　设椭圆C：＝1(a>b>0)，F1，F2为左右焦点，B为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c，且b>c，△BF1F2的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线x＝4相交于点N.试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过点P？若存在求出点P的坐标，若不存在．请说明理由． 解析：(1)由题意知解得： 故椭圆C的方程是＝1. (2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. 因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0， 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.① 此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以M(－)，由得N(4，4k＋m)． 假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上． 设P(x1，0)，则·＝0对满足①式的m、k恒成立． 设P(x1，0)，则·＝0对满足①式的m、k恒成立． 因为＝(－－x1，)，＝(4－x1，4k＋m)，由·＝0， 得＋＋3＝0， 整理得 解得x1＝1. 故存在定点P(1，0)，使得以MN为直径的圆恒过点P. 求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对变量的任意一个值都成立，这时变量的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 训练1　已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|＝2. (1)求E的方程； (2)设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点． 解析：(1)根据题意知，4＝2py0，① 因为|AF|＝2，所以y0＋＝2.② 联立①②解得y0＝1，p＝2.所以E的方程为x2＝4y. (2)证明：设B(x1，y1)，M(x2，y2) 由题意，可设直线BM的方程为y＝kx＋b，代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0. 根与系数的关系．得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.③ 由MP⊥x轴及点P在直线y＝x－3上，得P(x2，x2－3)， 则由A，P，B三点共线，得＝， 整理，得(k－1)x1x2－(2k－4)x1＋(b＋1)x2－2b－6＝0. 将③代入上式并整理，得(2－x1)(2k＋b－3)＝0. 由点B的任意性，得2k＋b－3＝0，所以y＝kx＋3－2k＝k(x－2)＋3.即直线BM恒过定点(2，3)． 题型二　定值问题 例2　已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2)．过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N. (1)求直线l的斜率的取值范围； (2)设O为原点，＝λ＝μ，求证：为定值． 解析：(1)因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，所以2p＝4，即p＝2. 故抛物线C的方程为y2＝4x. 由题意知，直线l的斜率存在且不为0. 设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)． 由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. 依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<0或0<k<1. 又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2)． 从而k≠－3. 所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3) (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝. 直线PA的方程为y－2＝(x－1)． 令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝＋2＝＋2 同理得点N的纵坐标为yN＝＋2 由＝λ＝μ得λ＝1－yM，μ＝1－yN 所以＝＝ ＝·＝·＝2 所以为定值． 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值和题目中的变量无关，始终是一个确定的值，对于定值问题常见的解题模板有两种： 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再研究一般情况．同时，要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题的方法，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等． 训练2　已知O为坐标原点，点F1，F2分别为椭圆M：＝1(a>b>0)的左、右焦点，点E(a，b)在抛物线N：x2＝y上，直线EF2与椭圆M的一个交点为F，且线段EF的中点恰为F2. (1)求椭圆M的标准方程； (2)过抛物线N上一点P且与抛物线N相切的直线l与椭圆M相交于A，B两点，设AB的中点为C，直线OP与直线OC的斜率分别是k1，k2，证明：k1k2为定值． 解析：(1)由