3.1.3空间两点间的距离公式 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.3　空间两点间的距离公式 南阳市五中 [教材要点] 要点　空间两点间的距离 1．已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P、Q两点间的距离为|PQ|＝_____________________________． 2．空间中任意一点P(x，y，z)与原点O的距离为|OP|＝_________． 空间两点间的距离公式与平面两点间的距离公式的区别与联系： 平面两点间的距离公式是空间两点间的距离公式的特例：①在平面直角坐标系xOy中，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝；②在x轴上的两点A，B对应的实数分别是x1，x2，则|AB|＝|x2－x1|. [基础自测] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空间两点间的距离公式与两点顺序有关．(　　) (2)空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点．(　　) (3)将空间两点间距离公式中两点的坐标对应互换，结果会改变．(　　) (4)点A(1，1，0)与点B(1，1，1)之间的距离是1.(　　) × × × √ 2．空间直角坐标系中．点A(－3，4，0)和点B(2，－1，6)的距离是(　　) A．2 B．2 C．9 D． 解析：|AB|＝＝. 答案：D 3．在空间直角坐标系中，设A(1，2，a)，B(2，3，4)，若|AB|＝，则实数a的值是(　　) A．3或5 B．－3或－5 C．3或－5 D．－3或5 解析：由题意得|AB|＝＝，解得a＝3或5，故选A. 答案：A 4．已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．   解析：设点P(0，0，z).则由|PA|＝|PB|， 得＝， 解得z＝6，即点P的坐标是(0，0，6). 答案：(0，0，6) 题型一　求空间两点间的距离 例1　已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5)． (1)求△ABC中最短边的边长； (2)求AC边上中线的长度． 解析：(1)由空间两点间距离公式得 |AB|＝＝3， |BC|＝＝， |AC|＝＝， ∴△ABC中最短边是|BC|，其长度为. (2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为(2,3,)， ∴AC边上中线的长度为＝. 方法归纳 1．求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键． 2．若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算． 跟踪训练1　如果点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1，1，1)的距离是________． 解析：由题意得P(0，0，1)或P(0，0，－1)， 所以|PA|＝＝.， 或|PA|＝＝.. 答案：或. 题型二　求空间点的坐标 例2　已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求|AB|取最小值时A、B两点的坐标，并求此时的|AB|. 解析：由空间两点的距离公式得 |AB|＝ ＝＝， 当x＝时，|AB|有最小值＝. 此时A（），B（1，）. 方法归纳 解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，结合已知条件确定点的坐标． 跟踪训练2　在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)，B(1，0，－3)，在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 解析：假设在y轴上存在点M(0，y，0)，使△MAB为等边三角形． 由题意可知y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立， 所以只要再满足|MA|＝|AB|，就可以使△MAB为等边三角形． 因为|MA|＝＝，|AB|＝2. 于是＝2，解得y＝±. 故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0). 题型三　空间距离公式的应用 例3　如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O­xyz. (1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标； (2)在线段C1D上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标． 解析：(1)由题意知P的坐标为（）. P关于y轴的对称点P′的坐标为（）. (2)设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)，则有|MP|＝＝＝， 当m＝时|MP|取到最小值，所以点M为(0,). 方法归纳 与平面直角坐标系中类似，在空间直角坐标系中也常常需要设点的坐标，此时，若注意利用点