2.3.2抛物线的简单几何性质 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.2　抛物线的简单几何性质 南阳市五中 要点　抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py (p>0) 图形 性质 焦点 ________ ________ ________ ________ 准线 ________ ________ ________ ________ 范围 ________ ________ ________ ________ 对称轴 ________ ________ 顶点 ________ 离心率 e＝________ (，0) (－，0) (0，) (0，－) x＝－ x＝ y＝－ y＝ x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R x轴 y轴 (0，0) 1 (1)通过上述表格可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为O(0，0)，离心率均为1，它们都是轴对称图形，关于焦点所在的坐标轴对称． (2)抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： ①抛物线、椭圆和双曲线都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率取值范围是0<e<1，双曲线的离心率取值范围是e>1，抛物线的离心率是e ＝1； ⑤椭圆和双曲线都有2条准线，而抛物只有1条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，所以在画抛物线时切忌将其画成双曲线的一支的形式． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)抛物线x2＝2py(p>0)有一条对称轴为y轴．(　　) (2)抛物线y＝－x2的准线方程是x＝.(　　) (3)抛物线是中心对称图形．(　　) (4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　　) √ × × √ 2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　) A．x2＝16y　　　　B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.故选D. 答案：D 3．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是(　　) A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D． 解析：抛物线方程可化为x2＝y，其准线方程为y＝－，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离．∴点M到x轴的距离是.故选D. 答案：D 4．以原点为顶点，x轴为对称轴且焦点在2x－4y＋3＝0上的抛物线方程是________． 解析：由题意，令y＝0，得x＝－，即抛物线的焦点坐标为，∴抛物线的方程为：y2＝－6x. 答案：y2＝－6x 题型一　由抛物线的几何性质求其方程 例1　已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． 解析：解法一：由抛物线开口方向向下，可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)． 因为M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5， 所以 解得 所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2. 解法二：设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)，准线l：y＝，如图所示，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，所以3＋＝5，即p＝4. 又因为点M在抛物线上，所以m2＝24，所以m＝±2. 所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2. 方法归纳 1．代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程(组)求出未知数． 2．几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦准距，从而得到抛物线的标准方程． 跟踪训练1　(1)边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x 解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)． 又A(±)(取点A在x轴上方)， 则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C. 答案：C　 (2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________． 答案：y2＝3x或y2＝－3x 解析：根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为 y2＝2px或y2＝－2px(