2.3.2 抛物线的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，北师大版）

3.2　抛物线的简单几何性质 学习目标 1.能在直观认识抛物线特点的基础上,用抛物线的标准方程推导出抛物线的简单几何性质,并能用它们解决简单的问题,从中体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,提升直观想象、数学运算、逻辑推理素养. 2.能通过抛物线简单几何性质的应用,将抛物线的实际问题转化为数学问题,提升数学建模素养. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 1 知识梳理 自主探究 问题:类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法,你认为应研究抛物线y2=2px(p>0)的哪些几何性质? 提示:范围、对称性、顶点、离心率. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 抛物线的几何性质 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 x x y y 1 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (1)只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程. (2)过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径,通径长为2p. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 2 师生互动 合作探究 抛物线的几何性质 √ [例1] (1)(多选题)关于抛物线y2=-2x,下列说法正确的是(　　) A.开口向左 B.焦点坐标为(-1,0) C.准线方程为x=1 D.对称轴为x轴 √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准 一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负. (2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴. (3)定值:焦点到准线的距离为p,过焦点垂直于对称轴的弦 (又称为通径)长为2p,离心率恒等于1. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 √ 解析:由题知,该抛物线的标准方程为x2=8y, 则该抛物线开口向上,焦点坐标为(0,2).故选A. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 抛物线几何性质的应用 解:如图所示, [例2] 已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点,另外两个顶点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个三角形的 边长. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 利用抛物线的几何性质可以解决的问题 (1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围:解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点弦:解决焦点弦问题. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 √ √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (2)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点A是抛物线上一点,且∠AFO=120°(O为坐标原点),AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是　　　 　.  解析:(2)由抛物线方程可知F(1,0),准线l的方程为x=-1.如图,设点A在第一象限,且其坐标为(x0,y0),过A作AH⊥x轴于H, 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 抛物线的几何性质在实际中的应用 [例3] 如图,是一抛物线形拱门示意图,拱门边界线是抛物线的一部分,抛物线的轴为拱门的对称轴,拱门底部AB宽8 m,顶点O距离地面6 m. (1)以拱门顶点O为原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系,求拱门边界线所在抛物线的方程; 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (2)节日期间需要在拱门对称轴上离地面4 m处悬挂一节日灯笼,如图,用两根对称的牵引绳固定,求其中一根牵引绳 长度的最小值(灯笼看作点P). 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 求抛物线实际问题的五个步骤 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 [针对训练] 如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全, 要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程; 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (2)若行车道总宽度AB为7 m,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少(精确到0.1 m). 解:(2)过B作BD⊥AB,交抛物线于D,设车辆高为h m, 则|DB|=h+0.5,故D(3.5,h-6.5),代入方程x2=-5y,解得h=4.05, 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0 m. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 抛物线焦点弦