2.3.1抛物线及其标准方程 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.1　抛物线及其标准方程 南阳市五中 要点一　抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作__________．点F叫作抛物线的________，直线l叫作抛物线的______． 抛物线 焦点 准线 (1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l叫做抛物线的准线；一个定值，即点M到点F的距离和它到直线l的距离之比等于1. (2)注意定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． 例如，到点F(0，1)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y＋1＝0，轨迹是一条直线． 要点二　抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ________ ________ ________ ________ ________ ________ y2＝2px(p>0) F(，0) x＝－ y2＝－2px(p>0) F x＝　 ________ ________ ________ ________ ________ ________ x2＝2py(p>0) F(0，) y＝－　 x2＝－2py(p>0) F(0，－) y＝ 1.只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式． 2．标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． 3．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，通常又可以写成y＝ax2，这与以前所学习的二次函数的解析式一致，但需要注意由方程y＝ax2求焦点坐标和准线方程时，必须先将抛物线的方程化成标准形式．   1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．(　　) (2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．(　　) (3)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．(　　) (4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．(　　) √ × √ √ 2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.故选C. 答案：C 3．抛物线x＝4y2的准线方程是(　　) A．y＝ B．y＝－1 C．x＝－ D．x＝ 解析：由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－.故选C. 答案：C 4．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________． 解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py.由抛物线定义有2＋＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，得m2＝16. ∴m＝±4. 答案：±4 题型一　求抛物线的标准方程 角度1　直接法求抛物线方程 例1　(1)顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝±3y B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．x2＝±6y 解析：由已知得＝3，p＝6.∴抛物线的标准方程是x2＝±12y. 答案：C　 (2)准线方程为y＝的抛物线的标准方程是________． 答案：x2＝－y 解析：由题意知＝，所以p＝，所以抛物线的标准方程是x2＝－y. 方法归纳 在抛物线方程的类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程． 角度2　待定系数法求抛物线方程 例2　(1)顶点在原点，且过点(－4，4)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝－4x B．x2＝4y C．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y 解析：(1)设抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，把(－4，4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2. 故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C. 答案：C　 (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线标准方程为________． 答案：　x2＝10y或x2＝－10y 解析：已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 方法归纳 根据焦点所在的坐标轴，抛物线方程可统一为两类：(1)焦点在x轴上的抛物线