2.2.2双曲线的简单几何性质 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2．2　双曲线的简单几何性质 南阳市五中 [教材要点] 要点　双曲线的几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 性质 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 ____或____，y∈R ________或______，y∈R 对称性 对称轴：______；对称中心：______ 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段______，长：______；虚轴：线段______，长：______；半实轴长：______，半虚轴长：______ 离心率 e＝∈______ 渐近线 y＝±x y＝±x x≤－a x≥a y≤－a y≥a 坐标轴 原点 A1A2 2a B1B2 2b a b (1，＋∞) (1) 双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线． (2) 当|x|无限增大时，|y|也无限增大，即双曲线的各支是向外无限延展的． (3) 双曲线的渐近线决定了双曲线的形状．由双曲线的对称性可知，当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲线与两条渐近线无限接近，但永远不会相交． (4) 双曲线形状与e的关系． 由于＝＝ ＝，因此e越大，渐近线的斜率的绝对值就越大，双曲线的开口就越大． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．(　　) (2)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条．(　　) (3)方程＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　　) (4)离心率e越大，双曲线＝1的渐近线的斜率绝对值越大．(　　) √ × × √ 2．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是(　　) A．x2－＝1 B．y2－＝1 C．＝1或＝1 D．x2－＝1或y2－＝1 解析：由题意知2a＝2，2b＝4 ∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4 又双曲线的焦点位置不确定，故选D. 答案：D 3．双曲线－y2＝1的渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x 解析：由双曲线方程得：a＝，b＝1，∴渐近线方程为：y＝±x＝±x.故选B. 答案：B 4．若双曲线＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是________．   解析：由题意知渐近线与x轴的夹角θ＝ ∴＝tan ＝1　∴e＝＝ 答案： 题型一　由双曲线的方程研究其性质 例1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程． 解析：将方程9y2－16x2＝144化为标准方程＝1，由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3， ∴c＝＝＝5，焦点的坐标是(0，－5)，(0，5)，渐近线方程为y＝±x. 方法归纳 已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．注意与椭圆的相关几何性质进行比较． 跟踪训练1　[多选题]在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线＝1，则(　　) A．实轴长为2 B．渐近线方程为y＝±x C．离心率为2 D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3 答案：BC 解析：由双曲线的方程可得，a2＝4，b2＝12，c2＝a2＋b2＝16，所以a＝2，b＝2，c＝4； 所以实轴长2a＝4，离心率＝2，渐近线方程为y＝±x＝±x，所以A不正确；B，C正确； 因为准线方程为x＝＝1，设渐近线y＝x与渐近线的交点为A，两个方程联立可得A(1，)，另一条渐近线的方程为：x＋y＝0，所以A到它的距离为d＝＝，所以D不正确． 题型二　由双曲线的几何性质求其标准方程 例2　(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P(，2)，求双曲线方程； 解析：设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，由题意知＝. 又∵双曲线过点P(，2)，∴＝1， 依题意可得解得 故所求双曲线方程为y2－x2＝1. 题型二　由双曲线的几何性质求其标准方程 例2　(2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)，求双曲线方程； 解析：设所求双曲线方程为＝1(a>0，b>0)． ∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝. 由题意得解得 ∴所求的双曲线方程为＝1. 题型二　由双曲线的几何性质求其标准方程 例2　(3)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为10，求双曲线方程． 解析：(3)方法一　当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为＝1，由渐近线方程为y＝±x得，＝，