2.1.2椭圆的简单几何性质 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1．2　椭圆的简单几何性质 南阳市五中 [教材要点] 要点　椭圆的简单几何性质 标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 范围 ____≤x≤____，____≤y≤____ ____≤y≤____，____≤x≤____ －a a －b b －a a －b b 对称性 关于____轴、____轴对称，关于原点对称 顶点坐标 A1________，A2________， B1________，B2__________ A1________，A2________， B1________，B2________ 轴长 长轴长|A1A2|＝______，短轴长|B1B2|＝______ 离心率 e＝__________(0<e<1) x y　 (－a，0) (a，0) (0，－b) (0，b) (0，－a) (0，a) (－b，0) (b，0) 2a 2b (1)椭圆的焦点F1，F2必在它的长轴上． (2)a是椭圆的长半轴长，b是椭圆的短半轴长，c是椭圆的半焦距，它们满足关系式：a2＝b2＋c2(a>b>0，a>c>0)．如图a，b，c恰好构成一个直角三角形． 明确了a，b的几何意义，可得“已知椭圆的四个顶点求焦点”的几何作法．只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点． (3)计算离心率常见形式，e ＝＝. 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)椭圆＝1(a>b>0)的长轴长等于a.(　　) (2)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．(　　) (3)椭圆＝1的离心率e＝.(　　) (4)椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(0，±)．(　　) × √ × √ 2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　　) A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，) 解析：椭圆方程可化为x2＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，±)．故选D. 答案：D 3．已知椭圆＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　) A．8　　　　　B．7 C．5　　　　　D．4 解析：由题意得m－2>10－m且10－m>0，于是6<m<10，再由(m－2)－(10－m)＝22，得m＝8.故选A. 答案：A 4．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是________． 解析：由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上， 所以椭圆方程是＝1. 答案：＝1 题型一　根据椭圆方程研究其几何性质 例1　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． 解析：椭圆的方程可化为：＝1. ∵m－＝>0，∴m>. 即a2＝m，b2＝，c＝＝. 由e＝得 ＝，∴m＝1. ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1. ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F1，F2 四个顶点分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1，B2. 方法归纳 在求椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标时，应先化为标准方程，然后判断焦点所在的位置，看两种情况是否都适合． 跟踪训练1　(1)椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.6 解析：把椭圆的方程写成标准方程为＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，∴2a＝10，2b＝6，＝0.8. 答案：B　 (2)设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标． 解析：椭圆方程可化为＝1. ①当0<m<4时，a＝2，b＝，c＝，∴e＝＝＝，∴m＝3，∴b＝，c＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，)． ②当m>4时，a＝，b＝2，∴c＝，∴e＝＝＝，解得m＝，∴a＝，c＝，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，4，焦点坐标为F1(0，－)，F2(0，)，顶点坐标为A1(0，－)，A2(0，)，B1(－2，0)，B2(2，0)． 题型二　根据椭圆几何性质求其标准方程 例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是10，离心率是；   解析：设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)， 由已知得2a＝10，故a＝5. ∵e＝＝，∴