2.1.1椭圆及其标准方程课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.1　椭圆及其标准方程 南阳市五中 要点一　椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的________等于________________的点的集合(或轨迹)叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的________，________________叫作椭圆的焦距． 距离之和 常数(大于|F1F2|) 焦点 两焦点间的距离 1.对定义中限制条件“常数(大于|F1F2|)”的理解 (1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在． 2．定义的双向运用 一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)． 要点二　椭圆的标准方程   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 ________________ ________________ a，b，c的关系 ________________ ________________ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2＝a2－b2 c2＝a2－b2 (1)椭圆的标准方程的推导，要充分利用椭圆的对称性，当且仅当椭圆的焦点在坐标轴上，且关于原点对称时，椭圆的方程才具有标准形式． (2)在椭圆的标准方程的推导过程中，令b2＝a2－c2可以使方程变得简单整齐. 今后讨论椭圆的几何性质时，b还有明确的几何意义，因此设b>0. (3)椭圆的标准方程的形式是：左边是“平方”＋“平方”，右边是1. (4)椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.(　　) (2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆．(　　) (3)方程＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆．(　　) (4)设F1(－4，0)，F2(4，0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆．(　　) √ × × × 2．设P是椭圆＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4 B．5 C．8 D．10 解析：由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.故选D. 答案：D 3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 解析：由题意知c＝8，2a＝20，∴a＝10， ∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＝1.故选C. 答案：C 4．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，)，则k的值为________． 解析：原方程可化为＝1. 依题意，得即 所以k的值为－1或－. 答案：－1或－ 题型一　椭圆的定义的应用 例1　已知△ABC的周长是8，且B(－1，0)，C(1，0)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A．＝1(x≠±3) B．＝1(x≠0) C．＝1(y≠0) D．＝1(y≠0) 解析：∵|AB|＋|AC|＝8－|BC|＝6>|BC|＝2， ∴顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，设其方程为＝1(a>b>0)，则a＝3，b＝2.又∵A、B、C三点不共线， ∴顶点A的轨迹方程为＝1(x≠±3)． 答案：A 方法归纳 找出点A的轨迹满足|AB|＋|AC|>|BC|后，知A的轨迹是椭圆，用定义法求出其方程，但要注意去掉不符合题意的点．   跟踪训练1　过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，F2是椭圆的另一个焦点，求△ABF2的周长． 解析：根据题意画出图形如图所示， ∵A，B在椭圆4x2＋y2＝1上，a2＝1， ∴2a＝2. ∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝2，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2. ∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4， 即|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4.∴△ABF2的周长为4. 题型二　求椭圆的标准方程 例2　求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)两焦点的坐标分别是(－4，0)