1.2.3直线与圆的位置关系课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.3　直线与圆的位置关系 南阳市五中 要点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 ____个 ____个 ____个 判定方法 d__r d__r d__r 　代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ__0 Δ__0 Δ__0 2 1 0 < ＝ > > ＝ < “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线与圆最多有两个公共点．(　　) (2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．(　　) (3)若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离．(　　) (4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交．(　　) √ √ × √ 2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交　　 B．相切 C．相离 D．无法判断 解析：圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1. ∵d＝r，∴直线与圆相切．故选B. 答案：B 3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝(　　) A．1 B． C． D．2 解析：直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2，故选D. 答案：D 4．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________． 解析：由已知圆心C(3，1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝＝，则弦长＝2＝4. 答案：4 题型一　直线与圆位置关系的判断 例1　已知圆的方程x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时： (1)直线与圆有两个交点； (2)直线与圆有一个交点； (3)直线与圆没有交点．     解析：圆x2＋y2＝2的圆心为O(0，0)，半径r＝， 圆心O到直线y＝x＋b的距离d＝. (1)当d<r，即<，|b|<2，∴－2<b<2时，直线与圆有两个交点． (2)当d＝r，即＝，|b|＝2，∴当b＝±2时，直线与圆有一个交点． (3)当d>r，即>，|b|>2，∴当b>2或b<－2时，直线与圆没有交点． 方法归纳 判断直线与圆位置关系的三种方法 1．几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． 2．代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 跟踪训练1　(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 解析：将点P(3，0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3，0)在圆内． ∴过点P的直线l必与圆C相交．故选A. 答案：A　 (2)已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 若直线与圆相切，则m＝________； 若直线与圆相离，则m的范围是________． 答案：0或－　(－，0) 解析：已知圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2，1)，半径r＝2 圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝. 若直线与圆相切，则d＝＝r＝2 解得m＝0或m＝－. 若直线与圆相离，则d>2，即－<m<0 题型二　直线与圆相切问题 例2　过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．   解析：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A在圆外，故切线有两条． ①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0. 设圆心为C，因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1， 所以＝1，即|k＋4|＝， 所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－. 所以切线方程为－x－y＋－3＝0，即15x＋8y－36＝0. ②若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1， 这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4. 综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. 方法归纳 圆的切线的求法 1．点在圆上时： 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0. 2．点在圆外时：