第16章二次根式-二次根式的定义及性质的应用 课件 2022--2023学年沪科版数学八年级下册

二次根式的定义 知识梳理 平方根、算术平方根 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根。 如何表示 a的平方根是 是a的算术平方根 (的算术平方根是0) 一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式。 “” 称为二次根号。 (a≥0) 被开方数可以是数 ， 也可以是代数式。 3 55 被开方数可以是什么 a的平方根是 是a的算术平方根 (的算术平方根是0) 一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式。 算术平方根 二次根式 (1)它是否含有根号 ， 算术平方根 二次根式 一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式。 判别一个代数式是不是二次根式： (2)被开方数是否大于等于0。 9的算术平方根是 3 3 本质 算术平方根 平 方 互逆 代数式 本质 运 算 运算 代数式 的算术平方根 3 × 形式 不一定带根号 形式 一定带根号 都可看作 用根号表示 根指数是不是2； ① 看根指数是不是 ，含有“ ”； 【例1】下列各式中是二次根式的是( ) A. B. C. D. ② 被开方数是否 . B 外貌特征： 内在特征： 抓住二次根式两个必备特征： 方法总结：判断一个式子是不是二次根式， 根指数不是2 × 4＞0 √ × × 2 大于等于0 根指数是2 根指数是2 根指数是2 二次根式的定义 算术平方根 二次根式 都可看作 用根号表示 ②二次根式的值为非负数。 二次根式的双重非负性： 二次根式的基本性质： ①＝a ； 算术平方根的意义： 是一个平方等于的非负数 ② = 一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式。 ①二次根式的被开方数为非负数； 二次根式的性质 【例2】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 考查知识点： 二次根式的性质、 分式有意义的条件 ， ， 解析： 方法总结：含二次根式的式子有意义的条件： (1)如果式子中含有多个二次根式， 则各个二次根式中的被开方数都必须是非负数； (2)如果所给式子中含有分母， 则除二次根式中的被开方数为非负数外， 还需分母不为零。 【例3】下列二次根式的化简正确的是( ) ①； ②； ③ ④ A．①②③ B. ②③ C．①②⑤ D. ②③⑤ 利用 进行化简★ D × √ √ 无意义 × √ 利用＝|a|、()2＝a进行计算时， 要点小结： 幂的运算法则仍然适用。 注意： 先应确定a的正负，再化简。 -利用进行化简★ 解题关键：判断a＋1、b－1和a－b的正负 2＜a＜ 1 a＋1＜0 b 1＞0 a b＜0 分析： 1＜b＜2 a＜b 【例4】已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：＋2－ 【例4】已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：＋2－ 解：从数轴上a，b的位置关系可知2＜a＜ 1，1＜b＜2，且b＞a， 故a＋1＜0，b 1＞0，a b＜0. 原式＝|a＋1|＋2|b 1| |a b|＝ (a＋1)＋2(b 1)＋(a b)＝b 3. 【需要的条件】 【正负判断】 【计算结果】 注意变号 减去一个数的相反数=加上这个数 解题关键：判断a＋1、b－1和a－b的正负 方法总结： 结合数轴利用二次根式的性质求值或化简， 解题的关键是根据数轴判断字母 的取值范围和熟练运用二次根式的性质． 0 【例5】下列各式最大值还是最小值，最值为多少？ 解： (1)∵ 你有什么发现 完全平方式 ， A B 1 哪个性质 何时 有最大值吗 距离 无最大值 【例5】下列各式最大值还是最小值，最值为多少？ 解： (1)∵ ， 在求含有二次根式的式子的最值时， 方法总结： 先根据二次根式的非负性求出 所求式子的取值范围，即可得出该式子是取最大值还是最小值。