35 层级二 专题六 第四讲 二、导数与函数的零点、方程的根（课件）-【金版新学案】2023高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材)

金版新学案 · 大二轮专题复习与测试 数学·理科 1 专题六 函数与导数 大二轮专题复习与测试 返回目录 2 总目录 CONTENTS 研重难 明考向 栏目一 专题复习强化练(十九)　导数与函数的零点、方程的根 栏目二 3 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 大二轮专题复习与测试 返回目录 专题复习强化练（十九） 大二轮专题复习与测试 大二轮专题复习与测试 返回目录 感谢您的观看！ ——正禾大讲堂 分丨享丨知丨识 助丨力丨高丨考 49 二、导数与函数的零点、方程的根 考点一　判断或证明零点个数 (2022·河南开封模拟)已知f(x)＝(x－1)ex－eq \f(1,3)ax3＋eq \f(1,3)a(a∈R)． (1)若函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围； (2)当a≤e时，讨论函数f(x)零点的个数． 解析：　(1)因为f(x)＝(x－1)ex－eq \f(1,3)ax3＋eq \f(1,3)a，则f′(x)＝x(ex－ax)， 因为函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以f′(x)＝x(ex－ax)≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，则ex－ax≥0， 当x＝0时，则0≥0即a∈R； 当x>0时，则eq \f(ex,x)≥a， 构建g(x)＝eq \f(ex,x)(x>0)，则g′(x)＝eq \f(（x－1）ex,x2)(x>0)， 令g′(x)>0则x>1，所以g(x)在(0，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，则g(x)≥g(1)＝e，所以a≤e， 综上所述，a≤e. (2)f(x)＝(x－1)ex－eq \f(1,3)ax3＋eq \f(1,3)a＝(x－1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,3)a（x2＋x＋1）)). 令f(x)＝0，则x＝1或ex－eq \f(1,3)a(x2＋x＋1)＝0. 对于ex－eq \f(1,3)a(x2＋x＋1)＝0即eq \f(ex,x2＋x＋1)＝eq \f(1,3)a， 构建h(x)＝eq \f(ex,x2＋x＋1)，则h′(x)＝eq \f(x（x－1）ex,（x2＋x＋1）2)， 令h′(x)>0，则x>1或x<0， 所以h(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，又因为h(0)＝1，h(1)＝eq \f(e,3)且h(x)>0当x∈R时恒成立． 所以有：当a＝e时，eq \f(ex,x2＋x＋1)＝eq \f(1,3)a有两个根x1＝1，x2<0； 当0<a<e时，eq \f(ex,x2＋x＋1)＝eq \f(1,3)a只有一个根x<0； 当a≤0时，eq \f(ex,x2＋x＋1)＝eq \f(1,3)a无根． 综上所述：当a≤0时，f(x)只有一个零点；当0<a≤e时，f(x)有两个零点． (2021·新高考Ⅱ卷节选)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b，其中a>0，b∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若eq \f(1,2)<a≤eq \f(e2,2)，且b>2a，证明：函数f(x)有一个零点． 解析：