2023届高考数学基础强化二轮专题训练（六)

2023高考数学基础强化专题训练（六） 2023高考数学基础强化专题训练（六） 函数与导数 1.（深圳市6校联盟2022—2023学年⾼三10⽉质量检测） 2.（湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题） 函数的大于0的零点为，函数的大于1的零点为，下列判断正确的是（提示：）（ ） A. B. C. D. 3.（辽宁省大连市滨城联盟2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题） 4.（深圳市宝安区202210月高三数学试卷） 高等数学背景下的导数压轴题 文/刘蒋巍 （根的存在性定理）：如果函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有一点，使 问题1：设函数，其中常数m为整数. （1）当m为何值时， （2）当时，方程在内有两个实数根. 分析：解答本题第（2）问的实质是应用根的存在性定理。 （凸函数的性质）：设函数在闭区间上连续，在内具有一阶和二阶导数，如果，那么在上的图像是严格下凸的；反之，如果，那么在上的图像是严格上凸的。 问题2：已知函数 （1）设，讨论的单调性； （2）若对任意，恒有，求的取值范围. 分析：本题主要考察利用导数的方法判断函数的单调性、左端点求右极限的知识。在此基础上结合严格上凸函数图像的特性，根据求使不等式成立的条件，进而求出的取值范围。 （两个不等式）：（） 其对数形式：（）， 又等价于：（） 引申：当时，， 则，即：，不难发现调和级数是发散的。 问题3：已知函数，其次，在函数的图像上取两定点，（），记直线AB的斜率为，证明：存在，使恒成立. 分析：,令,由不等式：（），可知：,因为，所以，，,考虑到函数的连续性，由零点存在定理，命题得证！ 问题4：设函数，求的单调区间。 答案：（1）当时，函数在上递增； （2）当时，函数在上递增，在上递减。 请读者自作。 ☆关于（）类型函数的压轴题 设，（）是函数（）图像上任意两点，记直线AB的斜率为，则 ；而函数在处的导数，则恒成立. 问题5：已知函数 （1）设，证明：当时， （2）若函数的图像与轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明： 分析：（1）将，，代入到中，得：，即：， 所以 （2）将，，代入到中，得： 问题6：设函数，证明：当时， 分析： ，从而 引申：当时， 拓展：当然，本题还可以使用拉格朗日中值定理求解。 ，其中 问题7：设函数，若的两个极值点和，记过点，的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 分析：，，令，，因为的两个极值点和，所以方程在上有两个相异实根，则且，得： 易得：， 若，则，又因为，所以，矛盾！所以不存在符合条件的实数. 问题8：已知函数（），若，且，证明： 分析：，因为，所以 又因为，所以 ☆常见的对数不等式：，（）； ，（）； ，（）； ，（）. 构造函数（），显然， 所以，即：，（） 不妨设，令，则，即： 问题9：已知函数（） 若函数有两个不同的零点，，求证： 分析：因为函数有两个不同的零点，， 所以 ，则，， 所以，，即 问题10：已知函数（） 记函数的图像为曲线C，设点，是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作轴的垂线交曲线C于点N。试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由。 答案：不平行。请读者自作。 问题11:若时，恒成立，求的最大值. 命题背景：的泰勒展开式为 当时， 则，，即：， 一类高考导数压轴题原创题（2023届） （1稿）问题1：已知定义在R上的函数，其导函数为,且满足 ，求证： 修正为：（2稿）问题1：已知定义在R上的函数，其导函数为,且满足 ，求证： （1稿）问题2：已知定义在R上的函数，其导函数为,且满足 ，求证： 修正为：（2稿）问题2：已知定义在R上的函数，其导函数为,且满足 ，求证： 问题3：已知定义在R上的函数，其导函数为,且满足 ， 求证： 注：以上3个问题为我们研究中发现的“副产品”，有深刻的出题背景。供大家探究。 说明：问题1，问题2的1稿有误，已在2稿修正。主要问题是1稿的结论两边不能同除以；2稿的条件，两边不能同除以。 命题很难一步到位，难免会出错误。保留1稿，并说明修正的问题，也是科学的研究态度。 （刘蒋巍 提供） 三角函数 1.(深圳市6校联盟2022—2023学年⾼三10⽉质量检测) 2.(2022·江苏苏州期中) (本题满分12分) 在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD＝4． (1)若D为AB的中点，三角形CDE的面积为4，求证：E为CB的中点； (2)若BD＝2AD，求△ABC的面积． 解析几何 1.（成都七中2022-2023高三上半学期文数试题） 2.（极点极线）已知椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为