预习案02 空间向量基本定理-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019选择性必修第二册）

预习案02 空间向量基本定理 【学习目标】 1.掌握空间向量基本定理. 2.会用空间向量基本定理对向量进行分解 . 3.会用基底法表示空间向量. 4.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想． 【基础知识】 知识点一　空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 思考　零向量能否作为基向量？ 答案　不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面． 知识点二　空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点三　证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 思考　怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？ 答案　平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题． 知识点四　求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 思考　怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？ 答案　几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围． 知识点五　求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 思考　怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？ 答案　几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得． 【典型例题】 一、空间向量的基底 一、单选题 1．（2022春·山东·高二沂水县第一中学期末）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 2．（2022春·浙江金华·高二期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间另一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（2022春·浙江·高二校联考期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022春·黑龙江·高二统考期中）已知是空间的一个基底，下面向量中与向量，一起能构成空间的另外一个基底的是（    ） A． B． C． D． 5．（2021春·陕西渭南·高二校考期中）如图，在平行六面体中，是的中点，设，，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（2021春·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）已知三棱锥中，点、分别为、的中点，且，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2022春·福建·高二福建师大附中校考期末）如图，空间四边形中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（2022·全国·高二假期作业）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2022春·安徽安庆·高二安徽省安庆市外国语学校校考阶段练习）设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知三棱锥，M，N分别是对棱、的中点，点G在线段上，且，设，，，则__________．（用基底表示） 二、空间向量基本定理的应用 一、单选题 1．（2022春·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（2022春·河南南阳·高二校联考阶段练习）关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．若，则的夹角是钝角 B．已知向量组是空间的一个基底，则不能构成空间的一个基底 C．若对空间中任意一点，有，则四点共面 D．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 3．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）在平行六面体中，，且交平面于点M，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022春·福建南平·高二统考期中）三棱柱中，为