专题1.1 等腰三角形-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

专题1.1 等腰三角形 1.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，并应用他们解决基本的几何问题； 2.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质； 3.掌握等腰三角形的判定定理及其运用； 4.学习等边三角形的性质与判定定理，并能够运用其解决问题； 5.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明； 6.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题。 知识点01 等腰三角形的性质及其推理 【知识点】 定理：等腰三角形的两个底角相等. 简述：等边对等角。 推论：等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一)。 补充：1）等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等； 2）过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等； 3）两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等。 【知识拓展1】利用等边对等角计算角度 例1．（2022·安徽芜湖·九年级统考期末）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为且点在小量角器上对应的刻度为，那么点在大量角器上对应的刻度为只考虑小于的角(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，如图，先根据得到，然后根据三角形内角和求出即可． 【详解】解：连接，，如图， 在小量角器上对应的刻度为，即， 而，，， 即点在大量角器上对应的刻度为只考虑小于的角．故选：A． 【即学即练】 1．（2022春·成都市·八年级期中）如图，已知， …，以此类推，若，则______． 【答案】 【分析】根据三角形内角和，等边对等角，三角形的外角可得；同理可得，，，即可找到规律得出答案． 【详解】解：∵在中，，，∴ ∵，是的外角，∴； 同理可得，，，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，等边对等角，三角形的外角的性质，正确找到规律是解题的关键． 【知识拓展2】等腰三角形的性质：“三线合一”求角度 例2．（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）如图，在中，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质：三线合一即可知 【详解】∵，∴是等腰三角形，且平分， ∴，，∴，∴，故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：三线合一求解，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键 【即学即练】 2．（2022春·辽宁大连·八年级期末）如图，在中，，D为的中点，，，求的度数． 【答案】 【分析】利用等边对等角，三线合一和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，D为的中点， ∴，，∴， ∵，∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 【知识拓展3】等腰三角形的性质：“三线合一”求长度 例3．（2022春·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在 中，， 是 边上除 ， 点外的任意一点，则 ____． 【答案】 【分析】过点A作于点D，由勾股定理可得，，再由求解即可得到答案． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∵，， ∴，，， ∴ ．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【即学即练3】 3．（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，，平分．若，，则的周长为（    ） A．11 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：∵，平分．∴， ∴的周长为，故选：D． 【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质：底边上的中线、高线及顶角的平分线是同一条线，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 知识点02 等腰三角形的判定 【知识点】 有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”). 等腰三角形的判定方法： ①有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义法) ②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法． 【知识拓展1】网格中的等腰三角形个数判断 例1．（2022春·浙江衢州·八年级校联考期中）如图，已知每个小方格的边长为1，、两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点，使为等腰三角形，则这样的顶点有（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】B 【分析】当为底时，作的垂直平分线，当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，分别找到格点即可求解． 【详解】解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有个， 当为腰时，分别以、点