第06讲 数列-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（人教A版2019选择性必修第二册）

第06讲 数列 【考点目录】 【知识梳理】 知识点1 数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 注：数列的第n项与项数n：数列{an}的第n项为an，an在数列{an}中的项数为n 2.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 3.对数列概念的理解 （1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． （2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． （3）数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 知识点2 数列的分类 分类标准 类型 含义 按项数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1>an(n∈N*) 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1<an(n∈N*) 常数列 各项都相等的数列，即恒有an＋1＝an(n∈N*) 按其他 标准 周期数列 一般地，对于数列{an}，若存在一个固定的正整数T，使得an＋T＝an恒成立，则称{an}是周期为T的周期数列 按其他 标准 有界(无界)数列 任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，即∃M∈R，|an|≤M，否则称为无界数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点3 数列的表示方法 1．列表法 列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表： 序号n 1 2 3 … n … 项an a1 a2 a3 … an … 2．图象法 在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)． 3．通项公式法 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式． 注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 4．递推公式法 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 注：常见数列的通项 (1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n. (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n. (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1. (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n. (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n. (6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝. (7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝. (8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1. 知识点4 数列的前n项和Sn与an的关系 1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即 Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．数列的前项和和通项的关系：则 特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段． 知识点5 数列的性质 （1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列； 在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 （2） 数列的周期性. 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． 注：由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件． 知识点6 等差数列的有关概念 1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母