第一章 专题特训(二) “化斜为直”构造直角三角形的四种方法-2021-2022学年九年级下册数学【拔尖特训】北师大版

专题特训(二)　“化斜为直”构造直角三角形的四种方法 类型一 无直角、无等角的三角形作高 1. 如图,若△ABC 和△DEF 的面积分别为S1, S2,则 ( ) (第1题) A. S1= 1 2S2 B. S1= 7 2S2 C. S1= 8 5S2 D. S1=S2 2. 如图,在△ABC 中,BC=1+ 3,∠B=60°, ∠C=45°,求AB 的长. (第2题) 类型二 求无直角的三角形中角的三角函数值时构 造直角三角形 3. 如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=8.若 ∠BPC=12∠BAC ,求tan∠BPC 的值. (第3题) 类型三 有三角函数值但不能直接利用时作垂线 4. (导学号95100020)如图,在△ABC 中,CD 是边 AB 上 的 中 线,∠B 是 锐 角,且sinB= 22 , tanA=12 ,AC=35.求: (1) ∠B 的度数与AB 的值. (2) tan∠CDB 的值. (第4题) 类型四 有直角、无三角形的图形延长某些边 5. (导学号95100021)阅读下面材料,并回答问 题.小红遇到这样一个问题:如图①,在四边形 ABCD 中,∠A=∠C=90°,∠D=60°,AB= 43,BC= 3,求AD 的长.小红发现,延长AB 与DC相交于点E(如图②),通过构造Rt△ADE, 经过推理和计算能够使问题得到解决. (1) 求AD 的长. (2) 参考小红思考问题的方法,解决问题:如图 ③,在四边形ABCD 中,tanA=12 ,∠B=∠C= 135°,AB=9,CD=3,求BC 和AD 的长. (第5题) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 第一章　直角三角形的边角关系 sin∠BAE=BEAE ,∴ BE=AE·sin∠BAE=80×sin30°=80× 1 2=40 (m).∴ E(旋转木马)处到B(出口)处的距离为40m. (2) ∵ ∠C=90°,∠ABE=90°,∠DEC=∠AEB,∴ ∠D= ∠BAE=30°.在 Rt△DCE 中,CD=34m,cosD=CDDE , ∴ DE= CDcosD= 34 3 2 =68 3 ≈ 68 1.7=40 (m).∴ DB=DE+ BE≈40+40=80(m).∴ D(海洋球)处到B(出口)处的距离 约为80m. [拓展拔尖] 13. 60°或120° 解析:如图,在平面内任作一个∠B=30°,在 其一边上任取一点A,使AB= 3,过点A 作AD⊥BC 于点 D.在Rt△ABD 中,∠B=30°,AB= 3,∴ AD=12AB= 3 2.∵ 3 2<1 ,即AD<AC,∴ 满足条件的点C 有两个.以点 A 为圆心,长度1为半径画弧,交∠B 的另一条边于点C,C', 连接AC,AC',则△ABC与△ABC'均符合题意.在Rt△ACD 中,sinC=ADAC= 3 2 ,∴ ∠C=60°.同理,可得∠AC'D= 60°.∴ ∠AC'B=120°.综 上 所 述,∠ACB 的 度 数 为60° 或120°. (第13题) 点拨:解答与三角形的高有关的问题时,要注意三角形的高的 位置与三角形的形状有关,避免漏解. 14. 如图,过点 D 作DH⊥AC 于点 H.在 Rt△DEH 中, ∵ ∠HED=45°,DH⊥EC,DE=2,∴ EH=DE·cos45°= 2× 2 2=1.∴ DH=1.在Rt△CDH 中,∵ ∠DCE=30°, ∴ HC= DHtan30°= 3 ,CD= DHsin30°=2. 在 Rt△ABE 中, ∵ ∠AEB=∠CED=45°,∠BAE=90°,BE=22,∴ AB= AE=2.∴ AC=AE+EH+HC=2+1+ 3=3+ 3. ∴ S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= 1 2× (3+ 3)×2+12× (3+3)×1=33+92 . 综上所述,CD 的长为2,四边形ABCD 的面积为33+9 2 . (第14题) 点拨:根据题目中所给的直角和30