勾股定理的逆定理讲义2022-2023学年人教版八年级数学下册

第10讲：勾股定理的逆定理 学习目标： · 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系． · 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形. · 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围. 【知识回顾】 1. 如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么 . 2.有一个边长为50dm的洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆盖的直径是 . 3. 一个圆锥的高是2.4cm，底面半径0.7cm，那么母线长是 . 要点一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点诠释：当时，此三角形为 三角形；当时，此三角形为 三角形，其中 为三角形的最大边. 要点三、互逆命题 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为 命题.如果把其中一个叫 命题，则另一个叫做它的 命题. 要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题. 要点四、勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 1 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 类型一、原命题与逆命题 例1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 　　1．原命题：猫有四只脚．（正确） 2．原命题：对顶角相等（正确） 3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．（正确） 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确） 【变式】下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形． 类型二、勾股定理的逆定理 例2、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形． （1）＝7，＝24，＝25； （2）＝，＝1，＝； （3），，()； 【变式1】判断以线段为边的△ABC是不是直角三角形，其中，，． 【变式2】下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③1，2，4；④5，6，8．其中可以为直角三角形三边长的有　 　．（把所有你认为正确的序号都写上） 例3、如图，已知四边形ABCD中，∠B＝∠90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积． 【变式】如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程． 类型三、勾股定理逆定理的实际应用 例4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【巩固练习】 1. 在平面直角坐标系中有一个点 ，则点 到坐标原点 的距离是 A. B. C. D. 2. 下列命题的逆命题不正确的是 A. 直角三角形的两锐角互余 B. 等腰三角形的两底角相等 C. 若 ，则 D. 全等三角形的三个对应角相等 3. 下列五组数：① ，，；② ，，；③ ，，；④ ，，；⑤ ，，，其中是勾股数的组数为 A. B. C. D. 4. 下列命题与它的逆命题都为真命题的是 A. 已知非零实数 ，如果 为分式，那么它的倒数也是分式 B. 如果 的相反数为 ，那么 为 C. 如果一个数能被 整除，那么这个数也能被 整除 D. 如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数 5. 下列命题的逆命题错误的是 A. 凡是直角都相等 B. 在一个三角形中，等边对等角 C. 角平分线上的点到角的两边的距离都相等 D