第十六章二次根式 全章复习与巩固讲义2022-2023学年人教版八年级数学下册

第8讲：《二次根式》全章复习与巩固 学习目标： · 理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. · 熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. · 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如 的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 要点诠释：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取什么数，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（） 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 1）被开方数是 ； 2) 被开方数中不含能开方的 . 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 要点诠释： 最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数 ，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释： 判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，=，显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 要点诠释： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数 ，被开方数 和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成___________，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 类型一、二次根式的概念与性质 例1． 当________时，二次根式在实数范围内有意义. 【变式】：①成立的条件是 ②成立的条件是 例2．当0≤<1时，化简的结果是__________ 【变式】已知﹣=2，则+的值为_____________． 例3. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A B C D 类型二、二次根式的运算 例4．下列计算正确的是（　　） A．﹣= B．3×2=6 C．（2）2=16 D．=1 【变式】：计算： 例5.化简 例6 已知的值. 【变式】已知=-3,=1,求的值. 【巩固练习】 1. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 2. 下列的式子一定是二次根式的是 A. B. C. D. 3. 计算 的值是 A. B. C. D. 4. 已知 ，，则 A. B. C. D. 5. 下列二次根式与 不是同类二次根式的是 A. B. C. D. 6. 若 ，则化简 的结果是 A. B. C. D. 7. 计算 的结果为 A. B. C. D. 8. 计算 的结果是 A. B. C. D. 9. 下列式子中，正确的个数是 ① ；② ；③ ；④ ． A. B. C. D. 10. 若 ，，则 的值为 A. B. C. D. 11. 二次根式：① ，② ，③ ，④ 中，能与 合并的是   （填序号）. 12. 设 ，则  ，  ． 13. 若 是整数，则正整数 的最小值为  ． 14. 已知：，则  ． 15. 若最简二次根式 与二次根式 是同类二次根式，则  ． 16. 若最简二次根式 与 的被开方数相同，则  ． 17. 计算 的结果是