16.2二次根式的乘除法讲义2022-2023学年人教版八年级数学下册

第6讲:二次根式的乘除法 学习目标: · 掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法,熟练进行二次根式的乘除运算; · 了解最简二次根式的概念,能运用二次根式的有关性质进行化简. 【知识回顾】 1. 一般地,我们把形如 的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 2.所含 相同,并且相同字母的 也相同的项叫做同类项,几个常数也是同类项.合并同类项,就是把各项的系数相 ,且字母部分保持 要点一、二次根式的乘法及积的算术平方根 1、乘法法则:(≥0,≥0),即两个二次根式相乘 , 不变,只把 相乘. 要点诠释: (1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意:公式中a、b都必须是_;(在本章中, 如果没有特别说明,所有字母都表示非负数) (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算: ≥0, ≥0,…..≥0) (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式,则应化简,如. 2、积的算术平方根 (≥0,≥0),即积的算术平方根等于积中各因式的 的积. 要点诠释: (1)在这个性质中,a、b可以是数,也可以是代数式,无论是数,还是代数式,都必须满足_0,_0,才能用此式进行计算或化简,如果不满足这个条件,等式右边就没有意义,等式也就不能成立了; (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数,把含有形式的a移到根号外面. 要点二、二次根式的除法及商的算术平方根 1、除法法则:(≥0,>0),即两个二次根式相除, 不变,把 相除. 要点诠释: (1)在进行二次根式的除法运算时,对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意,_0,_0,因为b在分母上,故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则,可将分母中的根号去掉,二次根式的运算结果要尽量化简,最后结果中分母不能带根号. 2、商的算术平方根的性质 (≥0,>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 要点诠释: 与都是的算术平方根. 要点三、最简二次根式 (1)被开方数中不含能开得尽方的 或 . (2)被开方数中不含有 ; (3)分母中不含有根号. 满足这三个条件的二次根式叫最简二次根式. 要点诠释:二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况: (1) 被开放数是分数或_; (2)含有能开方的因数或_. 类型一、二次根式的乘除法 例1.(1)×; (2)×; (3); (4); 【变式】判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正: (1); (2)×=4××=4×=4=8. 例2、计算:. 类型二、最简二次根式 例3. 下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?请说明理由. (1);(2);(3);(4);(5);(6);(7). 【变式1】化简 (1) (2) 【变式2】(2015春•河北月考)在下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?对不是最简二次根式的进行化简. (1);(2) ;(3) ;(4);(5). 例4.已知0<<,化简. 【巩固练习】 1. 若 成立,则 的取值范围为 A. B. C. D. 或 2. 已知实数 , 满足 ,则 等于 A. B. C. D. 3. 下列式子为最简二次根式的是 A. B. C. D. 4. 等式 成立的 的取值范围在数轴上可表示为 A. B. C. D. 5. 为使 有意义, 的取值范围是 A. 且 B. 且 C. D. 或 6. 化简二次根式 的结果为 A. B. C. D. 7. 我们把形如 (, 为有理数, 为最简二次根式)的数叫做 型无理数,如 是 型无理数,则 是 A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 8. 若 ,则 的结果是 A. B. C. 或 D. 9. 计算 的结果是 . 10. 若 ,则 . 11. 化简: 的结果是 . 12. 已知 ,那么 的值是 . 13. 比较大小: .(填“,,或 ”) 14. 已知最简二次根式 与 的被开方数相同,则 . 15. 已知 ,, 在数轴上的位置如图:化简代数式 的值为 . 16. 已知 ,,, 四个实数满足 ,,则 . 17. 计算:. 18. 计算:. 19. 当 为何值时,下列各式有意义? (1); (2); (3); (4). 20. 下列二次根式中哪些是最简二次根式?哪些不是?若不是,请说明理由. ();();(); ();();(); ();(). 21. 已知 ,, 为 的三边长,化简:. 22. 已知 ,,求代数式 的值. 23. 观察下列各式及验证过程: ;;. 验证:;;. (1)按照上述等式及验证过程的基本思路,猜想 的变形结果,并进行验证; (2)针对上述各式反映的规律,写出用 (,且 为整数)表示的等式,并进行验证. 24. 解答下列问题. (1)在下列横线上填“”“”或“”. ① ; ② ; ③ ; (