第03讲 聚焦题根、举一反三 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第03讲 聚焦题根、举一反三 ・波利亚指出:“从理解题目到构思一个解题方案也许是漫长而曲折的过程.事实上,解答一个题目的主要成就在于构思一个解题方案的思路“好的思路来源于过去的经验和以前获得的知识”这里的困难在于通常有太多的题目与我们当前的题目有某些相关,即与其有一些共同点,我们怎样从中选出一个或几个确实有用的题目?有一个提议能使我们确切地指出一个必不可少的共同点来:观察末知量!并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目." 波利亚进一步指出:“如果你不能解所提的题目,先尝试去解某道有关的题目,你能否想到一道更容易着手的相关题目?一道更为普遍化的题目?一道更为特殊化的题目?一道类似的题目？你能解出这道题目的一部分吗?只保留条件的一部分,而丢掉其他部分,那么未知量可以确定到什么程度,它能怎样变化?你能从已知数据中得出一些有用的东西吗?你能想到其他合适的已知数据来确定该未知量吗?你能改变未知量或已知数据,或者有必要的话,把两者都改变,从而使新的未知量和新的已知数据彼此更接近吗?你用到所有已知数据了吗?你用到全部的条件了吗?你把题目中所有关键的概念都考虑到了吗?”“题目的变化可以引出一些适当的辅助题目.”在这里,・波利亚提出了数学问题的“变式”处理这一概念,这非常重要.我们在学习某一数学概念时,为了吃透概念,总会编制出具有典型性的例题,称之为“题根”或者“母题”,以这类“题根”或者“母题”出发,试着改变原题的“情景”,或改变求解的“对象",或改变解题的“规则”,或改变原题的“条件"…...会引申变化出一系列的“变式题”或者称之为“子题”.在攻克压轴题的过程中,如果我们能紧紧抓住某个知识点或知识网络交汇处的典型例题——“题根”和它的若干变式,做到举一反三,就可以通过解决一道题达到解决一批题、一类题的目的. 在攻克压轴题的战役中,抓住“母题”、聚焦“题根",加强变式训练,解题能力就一定会提升到更高的层次. 本讲以题组的形式编排,每一组环绕一个中心,通常第(1)题是“母题”,后面的题为“子题”或“变式题”,通过这种层层推进的分析,使学生掌握的不仅是一道题的解法,而是一类题的解法. 典型例题 【例1】(1)若函数,当时恒有,求实数的取值范围; (2)若函数,当时恒有,求实数的取值范围; (3)已知函数在上恒正,求实数的取值范围; (4)若关于的不等式在范围内恒成立,求实数的取值范围. 【例2】(1)若函数的定义域为,求实数的取值范围; (2)若函数的定义域为,求实数的取值范围; （3）若函数的定义域为,求实数的取值范国; (4)若函数在区间上有意义,求实数的取值范围; (5)若函数的值域为,求实数的取值范围; (6)若函数的值域为,求实数的取值范围. 【例3】(1)已知. (1)若且的最大值为,求的值; (2)若且的最小值为,求的取值范围. (2)(1)已知的最大值为2,求实数的值; （2）设,用表示的最大值. (3)在什么范围内,对于,总有不等式成立; (4)（1）求函数在的最小值; (2)求函数的最值; (3)设均为实数,试求当变化时,函数的最小值. (5)(1)求函数的值域; (2)求函数的值域. (6)已知不等式对于恒成立,求的取值范围. 强化训练 1.设圆的圆心为,直线过点且与轴不重合,交圆于两点,过作的平行线交于点. (1)证明为定值,并写出点的轨迹方程; (2)设点的轨迹为曲线,直线交于两点,过且与垂直的直线与圆交于两点,求四边形面积的取值范围. 2.(1)若圆上至少有3个不同的点到直线的距离为,求直线的倾斜角的取值范围; (2)在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线:上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 聚焦题根、举一反三 ・波利亚指出:“从理解题目到构思一个解题方案也许是漫长而曲折的过程.事实上,解答一个题目的主要成就在于构思一个解题方案的思路“好的思路来源于过去的经验和以前获得的知识”这里的困难在于通常有太多的题目与我们当前的题目有某些相关,即与其有一些共同点,我们怎样从中选出一个或几个确实有用的题目?有一个提议能使我们确切地指出一个必不可少的共同点来:观察末知量!并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目." 波利亚进一步指出:“如果你不能解所提的题目,先尝试去解某道有关的题目,你能否想到一道更容易着手的相关题目?一道更为普遍化的题目?一道更为特殊化的题目?一道类似的题目？你能解出这道题目的一部分吗?只保留条件的一部分,而丢掉其他部分,那么未知量可以确定到什么程度,它能怎样变化?你能从已知数据中得出一些有用的东西吗?你能想到其他合适的已知数据来确定该未知量吗?你能改变未知量或已知数据,或者有必要的话,把两者都改变,从而使新