第06讲 居高临下、一览无余 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第06讲 居高临下、一览无余 数学是一门由无数问题组成并进行研究的学问,学数学的一个明显特点就是必须做习题,还要做大量的练习,同一道数学题常常有不同的解法.有些解法虽然很漂亮或技巧很好,但是只能用于解决狭窄的一类问题,所以“怎样解题?怎样把题解决得完美?”是学习数学过程中始终值得探讨的大课题.一个优秀的解题者总是善于从宏观上看清问题,制订解题计划,又能在微观上落实解题过程,这就是我们常讲的“大处着眼、小处入手”. 我们讲“大处着眼”,就是要站在高处来观察初等数学、分析高考中的压轴题.高考试卷通常比较注重对解题通性通法上的考查,但也有一些压轴题很难用“通性通法”顺利解决,需要在高一层次的观点下拓宽知识开拓解匙能力.当下数学教育改革的重点是把提升学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象数学运算和数据分析6个方面的数学核心素养放在首位.教师应当站在这一高度统领数学高考复习的过和,教师应该具备更高的数学观点.理由是，观点越高,事物越显得简单.我推存德国数学教育家菲利克斯・克莱因的《高观点下的初等数学》书,他认为函数是数学的“灵魂“,应该成为中学数学的“基石”,应该把算术、代数和几何方面的内容,通过几何的形式,以函数为中心的观念综合起来,强调要用近代数学的观点来改造传统的中学教学内容,主张加强函数和微积分的教学,改革和充实代数的内容,倡导“高观点下的初等数学"意识“应使学生了解数学并不是孤立的各门学问,而是一个有机的整体”;基础数学的教师应该站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学问题,只有观点高了,事物才能显得明了而简单.他认为“有关的每一个分支,原则上应看作是数学整体的代表"“有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能被深刻地理解".这本书的核心内容是函数为数学的“灵魂”,应该把知识通过几何的形式以函数为中心的观念综合起来,重点在解析几何、平面向皇的教学上,加强函数和微积分教学特别是重要性越来越突显的导数部分.算术、代数和几何这三大部分也正是当今高中数学教育的主打板块.居高临下的另一方面是在攻克压轴题的阵地战中有必要适当掌握一些高中数学竞赛的解题方法或技巧,名牌大学自主招生考试中也会涉及竞赛型考题. 我们讲“小处人手”,就是在复习数学过程中需要总结从实践中积累起来的丰富多彩的解题中的学科方法,学科方法根植于数学基础知识的沃土.掌握了学科方法会使你在数学解题过程中尽快找到数学问题的破解之道,收到事半功倍之效,不但可以使你顺畅地地解决数学问题,而且可以解决数学之外的问题.我们常说:数学是思维的体操,学科方法是具体的、能切人问题解决的方法,是数学智慧的精彩之果.面对一道综合性较强的压轴题,解题之前总要对问题进行分析,分析问题要居高临下、大处着眼,把题目涉及的知识网络看清楚,解剖到位、一览无余.大处着眼就是通过发散思维寻求破解之道,产生奇思妙想,在解题过程中不断门现的战略、战术构想,数学思想的引领都属于这一范畴.学科方法是每门学科或每一知识板块、某一类型题中经常使用且效果明显的特殊方法,是具体的、有针对性的,是数学各分支每一种类型问题的各种有效的解法,是思维方法与数学知识在不同类型题中的灵活应用,是解题中的“小处人手". 典型例题 【例1】已知数列满足,其中. （1）证明:对任意的,存在正整数,使得对于 【例2】在平面直角坐标系中,是原点,是第一象限内的点,并且在直线上,其中是双曲线上使面积最小的点,求当在中取什么值时,的面积最大,最大值是多少? 【例3】 以和为根的有理系数一元次方程的最高次数的最小值为（ ）. A.2 B.3 强化训练 1.已知数列满足. (1)若,求的通项公式; (2)若,证明数列有界. 2.都有恒成立,求 3.已知函数的定义域为,若对任意的都有,则称函数为“玲珑函数”,否则称“非玲珑函数”,函数是否为“玲珑函数"?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 居高临下、一览无余 数学是一门由无数问题组成并进行研究的学问,学数学的一个明显特点就是必须做习题,还要做大量的练习,同一道数学题常常有不同的解法.有些解法虽然很漂亮或技巧很好,但是只能用于解决狭窄的一类问题,所以“怎样解题?怎样把题解决得完美?”是学习数学过程中始终值得探讨的大课题.一个优秀的解题者总是善于从宏观上看清问题,制订解题计划,又能在微观上落实解题过程,这就是我们常讲的“大处着眼、小处入手”. 我们讲“大处着眼”,就是要站在高处来观察初等数学、分析高考中的压轴题.高考试卷通常比较注重对解题通性通法上的考查,但也有一些压轴题很难用“通性通法”顺利解决,需要在高一层次的观点下拓宽知识开拓解匙能力.当下数学教育改革的重点是把提升学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象数学运算和数据分