第10讲 归纳类比、探索创新 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第十讲 归纳类比、探索创新 新颖性问题是指问题的面目、形式新颖，命题的立意、背景深远的数学问题，这类题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，一般难度不会太大，而且与高中数学体系内的知识有千丝万缕的联系，是训练和考查学生思维能力、分析问题和解决问题能力、体现数学核心素养的好题型.近年来的高考数学试题与原名牌大学自主招生考试卷中，出现了较多的新定义题、新知识背景题、新题型结构题，无论是试题形式的设计、考试内容的选择、考查思维的深度、问题情景的创设等，都给人耳目一新之感，由于新颖性问题对所有学生而言都是有陌生感的问题，具有公平的特点，并有一定的选拔功能，因而成为高考命题的一个关注点 课程标准指出：“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地运用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探究和研究，才是解决问题的思路，才是创造性地解决问题.”新颖性问题对于每个学生而言，难就难在“新”上，面对此类题，首先要搞清新意体现在什么地方，要善于迅速提取有用信息，善于挖掘创新试题的内涵与本质，采用化新为旧的分析，合理迁移、运用已学的知识加以解决，一般从以下两个方面进行深入思考. （1）若新颖性问题的新意体现在结构上，如新定义的概念题、运算题.若设问方式呈现开放式、探究式，题设条件采用图形符号或者表格等形式给出，则应精准把握住问题的新结构的内涵，并与已学过的相近知识进行类比，设法实施转化，使新问题变为一个老问题 （2）若新颖性问题的新意体现在问题的立意上，则应从数学思想和方法的角度着手考虑.若有了数学思想和方法的引领，问题就可以识别，思路也会明晰，再难的新颖性也可迅速破解. 近年来，数学教育界正在大力倡导培养学生的核心素养，其核心是创造性思维的能力，指的是发明或发现一种新方式用以处理某种事物或某个数学问题的思维过程，创造性思维活动大致分为准备、潜伏、顿悟、试证4个阶段.具体地说，一般要经历如下5个过程：①提出问题：②启发思维：③创造想象；④理想实验；⑤检验假设.总之，创造性思维是一个多层次、多水平、多因子的动态心理系统 在迎考冲刺阶段的攻坚战中，精神因素不可忽视，拥有良好的心态才能临场不慌，才能避免低级运算错误，增强解题过程的严密性、完整性、准确性、规范性，才能读题到位、细心审题、思维活跃、开启创造性思维之门，才能迅速找到解题途径，才能确保运算准确、推理步骤环环相扣，才能在各类考试中取得高分.通常我们讲得比较多的是解题方法和策略，实际上还应当有认知策略和心理调适策略，在学习数学时始终要有一步一步深化下去的热情. 典型例题 【例1】已知函数,且的图像经过,数列为等差数列. (1)求的值和数列的通项公式; (2)当为奇数时,设,是否存在自然数和,使不等式恒成立?若存在,求出;若不存在,说明理由. 【分析】 本例是判断存在型问题,第问,首先以代入待,再依次用代入,寻求规律求的值和数列的通项公式.第问,在求得的基础上以代入,运用错位相减法求得,进一步研究其单调性求得的取值范围. 【解析】 (1)据题意,,即,令则,令,则.为等差数列,, (2)为奇数时,,, ,. 两式相减得 故,令, 则.即,故单调递减.又也为单调递减,为的增函数,当时,,而也为单调递减,为的增函数,当时,，存在自然数和使不等式恒成立,此时 【例2】对于定义在上的函数,若存在正常数,使得是以为周期的函数,则称为余弦周期函数,且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数,其值域为,且在上单调递增. (1)验证是以为周期的余弦周期函数; （2）设,证明:对任意,存在,使得; (3)证明:”为方程在上的解”的充要条件是为方程在上的解". 【分析】 分析本例是以数学新概念、新定义给出的创新题.解题的关键是准确理解新概念、新定义，然后用已学过的“老知识”加以解决.第（1）问可以直接验证；第（2）问，通过构造新函数及零点存在定理进行论证；第（3）问，分充分性与必要性进行证明，本例考查抽象概括能力和推理论证能力等数学核心素养与创新意识. 【证明】 (1)于是故是以为周期的余弦周期函数. (2)设在上单调递增,当时,又,即 若或,则显然存在或使得; 若且,则, 又在上单调递增, 存在使得,即. 综上所述,存在使得. (3)必要性:若为方程在上的解,则,且 是以为余弦周期的余弦周期函数, 是方程在上的解. 充分性:若为方䅣在上的解,则,,且. 是以为余弦周期的余弦周期函数, 是方程在上的解. 综上,“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解". 【例3】如图所示,已知曲线,曲线:是平面上一点,若存在过点的直线与共有公共点,则称为型点” (1)在正确证明的左焦点是型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线方程(不要求验证); （2）设直线