第15讲 构造思想与构造法 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第15讲 构造思想与构造法 构造法是高中数学学习中一种极其重要的思维方法与学科方法,通过对数学问题的已知条件和结论进行深入分析,抓住问题的本质特征,恰当地构造辅助元素或数学模型,转化原问题的结构,重组条件和结论之间的关系,产生一种新的结构,通常这种新结构的构思精巧,聅想丰富、思维灵活,通过构造所得新问题的解决出奇制胜地解决了原问题. 构造法又可以分为直接构造法和间接构造法. 直接构造法的作用是通过构造具体实例,使所研究的数学对象及其特性的存在得以肯定,或者通过构造反例否定所研究的数学对象或其特性的存在.一旦构造成功,结论也就一目了然,一般来说,直接构造法的知识体系没有改变. 构造的对象不仅仅是直接导致结论肯定和否定的实例,还包含有辅助工具,通过辅助工具使问题得以顺利解决,这就是间接构造法.构造的工具是多种多样的,按它的内容可以分为数、式、函数、方程、数列、向量、图形、图表、计算程序、数学模型等.掌握间接构造法的关键在于审时度势,积极展开想象,灵活运用所学的数学基础知识.间接构造法常常会打破原有的知识体系,转化为另一个知识体系中的数学问题. 构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法,并不是“无中生有",构造必有源头,也并不是高不可攀,而是敏锐的洞察能力发挥作用的结果.构造法是一种具有创造性的解题方法,体现了函数与方程数形结合,转化与化归的思想,渗透着猜想、实验、归纳、类比、特殊化等数学方法,注重解题时敢于打破常规.知识前后之间的联系与迁移,新旧知识之间的类比与转化,融合与贯通,总之,构造思想与构造法是攻克压轴题的锐利武器,必能让我们击穿壁垒，大获全胜. 典型例题 【例1】已知实数满足,则的最大值为 . 【例2】 在平面内,定点满足,动点满足,则的最大值是( ) A. B. C. D. 【例3】已知 【例4】设,利用三角变换,估计在时的取值情况,进而对取一般值时对的取值范围作出一个猜想并证明. 强化训练 1.(1)求证:; (2)已知,求证:; (3)已知,且,求证:. 2.(1)若,且满足方程:和,求的值; (2)已知为两相异锐角,且满足方程,求证: 3.(1)试求函数的最大值; (2)求二元函数的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 构造思想与构造法 构造法是高中数学学习中一种极其重要的思维方法与学科方法,通过对数学问题的已知条件和结论进行深入分析,抓住问题的本质特征,恰当地构造辅助元素或数学模型,转化原问题的结构,重组条件和结论之间的关系,产生一种新的结构,通常这种新结构的构思精巧,聅想丰富、思维灵活,通过构造所得新问题的解决出奇制胜地解决了原问题. 构造法又可以分为直接构造法和间接构造法. 直接构造法的作用是通过构造具体实例,使所研究的数学对象及其特性的存在得以肯定,或者通过构造反例否定所研究的数学对象或其特性的存在.一旦构造成功,结论也就一目了然,一般来说,直接构造法的知识体系没有改变. 构造的对象不仅仅是直接导致结论肯定和否定的实例,还包含有辅助工具,通过辅助工具使问题得以顺利解决,这就是间接构造法.构造的工具是多种多样的,按它的内容可以分为数、式、函数、方程、数列、向量、图形、图表、计算程序、数学模型等.掌握间接构造法的关键在于审时度势,积极展开想象,灵活运用所学的数学基础知识.间接构造法常常会打破原有的知识体系,转化为另一个知识体系中的数学问题. 构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法,并不是“无中生有",构造必有源头,也并不是高不可攀,而是敏锐的洞察能力发挥作用的结果.构造法是一种具有创造性的解题方法,体现了函数与方程数形结合,转化与化归的思想,渗透着猜想、实验、归纳、类比、特殊化等数学方法,注重解题时敢于打破常规.知识前后之间的联系与迁移,新旧知识之间的类比与转化,融合与贯通,总之,构造思想与构造法是攻克压轴题的锐利武器,必能让我们击穿壁垒，大获全胜. 典型例题 【例1】已知实数满足,则的最大值为 . 【分析】 本题初看条件比较多,要求的代数式又带绝对值等号,似乎有点复杂,但是我们仔细覌察条件和结论中各式的特点,构造图形来解应当是首选.由,,我们肯现点在单位圆上.而正是两点到直线的距离之和,条件正好是,可知与的夹角为,再进一步思考,其中还隐藏着许多信息,可以通过不同的角度去构选图形或关系式求解. 【解法1】 如图所示,由题意知在单位圆上,且表示两点到直线的距离之和,设的中点为到直线的距离为. 则根据梯形的中位线定理,得 在中,的轨迹是以为圆心,为半径的圆.当时, 的最大值为. 设,由题意知两点在单位圆上,令且 由,可得,即. ,要使上述距离的和最大两点应在直线的左下方区域,此时 显然当,即时,上式有最大值. 【解法3】 如图所示,由题意知,点在单位圆