第18讲 三角函数与向量方法 讲义-2023届高考数学二轮复习压轴题微专题

第18讲 三角函数与向量方法 三角函数与平面向量是高中数学的两块重点内容,两者知识与方法的交汇与综合也是高考重点考查的内容之一.特别是近几年来,已成为高考命题的一个“题眼”,备受命题者的关注,试题常以向量为工具,探讨三角比的求值、化简、证明以及解三角形,探讨三角函数的图像与性质以及与三角函数相关的拓展题,新颖题. 本讲以近几年的高考题为例,对平面向量与三角函数的综合问题进行分类解析,出现较多的有以下三种类型. （1）题设给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解. （2）给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等. （3）运用向量法解三角形主要是向量的垂直与夹角问题,一对向量垂直与向量所在直线的垂直是一致的,向量的线性运算(向量回路)与向量的坐标运算是求解问题的两大途径.关于夹角问题,可以把两个向量的夹角放在三角形中,利用正余弦定理、三角形的面积公式求解;用向量法研究三角形的“四心”(重心、垂心、内心、外心)问题,判断三角形的形状问题也都是常见的题型. 典型例题 【例1】如图所示,在同一个平面内,向量的模分别为与的夹角为,且与的夹角为,若,则. 【例2】(1)已知,求的值; (2)已知,求锐角; (3)运用向量法证明. 【例3】设为单位向量,非零向量若的夹角为则的最大值等于. 【例4】在平面直角坐标系中,点,将向量绕点按逆时针方向旋转后得向量,则点的坐标是(). A. B. C. D. 【例5】在平面直角坐标系中,已知向量. (1)若,求的值; (2)若与的夹角为,求的值. 【例6】已知向量 (1)求向量的长度的最大值; （2）设且,求的值. 【例7】已知为不共线的向量, (1)求的最小值及相应的值; (2)求存在两个正数且,使的充要条件. 强化训练 1.(1)求函数的最大、最小值及取最值时的值. （2）在锐角中,若,向量,且,则的面积为. A. B. C. D. (3)已知向量.若对任意单位向量,均有,则的最大值是. 2.已知向量. (1)若,求的值; (2)记,求的最大值和最小值. 3.已知向量,设函数,且的图像过点和点. (1)求的值; （2）将的图像向左平移个单位后得到函数的图像,若图像上各最高点到点的距离的最小值为1,求的单调递增区间. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 三角函数与向量方法 三角函数与平面向量是高中数学的两块重点内容,两者知识与方法的交汇与综合也是高考重点考查的内容之一.特别是近几年来,已成为高考命题的一个“题眼”,备受命题者的关注,试题常以向量为工具,探讨三角比的求值、化简、证明以及解三角形,探讨三角函数的图像与性质以及与三角函数相关的拓展题,新颖题. 本讲以近几年的高考题为例,对平面向量与三角函数的综合问题进行分类解析,出现较多的有以下三种类型. （1）题设给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解. （2）给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等. （3）运用向量法解三角形主要是向量的垂直与夹角问题,一对向量垂直与向量所在直线的垂直是一致的,向量的线性运算(向量回路)与向量的坐标运算是求解问题的两大途径.关于夹角问题,可以把两个向量的夹角放在三角形中,利用正余弦定理、三角形的面积公式求解;用向量法研究三角形的“四心”(重心、垂心、内心、外心)问题,判断三角形的形状问题也都是常见的题型. 典型例题 【例1】如图所示,在同一个平面内,向量的模分别为与的夹角为,且与的夹角为,若,则. 【分析】 本题主要考查三角函数的定义、三角恒等变换以及平面向量的数量积运算.平面向量数量积的运算一般有两种解法,一是利用向量数量积的坐标运算求解,一是利用向量数青积的定义和运算性质求解.如果通过㴕缄构造不同的图形可以有多种不同的新颖解法，显得简洁又精彩. 【解法一】（通解） 以为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,则 ,由,得, 设,则, 即,又,则.即, 由,可得 解得 【解法二】 由得 则 由,得,即.① 同理可得,即.② 联立①②,解得. 【解法三】（优解二） 过点作的平行线交直线于点.如图所示,则. 在中,由正弦定理得 即,解得 【解法四】（优解三） 如图所示,联结交于点, ∵ ∴ 从而 ∴,于是 【例2】(1)已知,求的值; (2)已知,求锐角; (3)运用向量法证明. 【分析】 第(1)、(2)两问,作为三角求值或求角,完全可以在三角函数范围内解,但若运用向量法解,则思维简约,过程快捷;第(3)