（2）空间向量与立体几何（B卷）-2022-2023学年人教A版（2019）高二数学寒假作业

（2）空间向量与立体几何（B卷）——2022-2023学年高二数学人教A版（2019）寒假作业 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1、空间直角坐标系中的点关于平面Oxy的对称点A'与点间的距离为( ) A.6 B. C. D. 2、如图,空间四边形的每条边和对角线长都等于1,点分别是的中点,则( ) A. B. C. D. 3、设，向量，，，且，，则的值为( ) A.-1 B.1 C.2 D.3 4、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为( ) A. B. C. D. 5、如图，已知四棱锥的底面ABCD是等腰梯形，，且,AC与BD交于点O,底面ABCD,，，E,F分别是AB,AP的中点，则二面角的余弦值为( ) A. B. C. D. 6、在棱长为2的正方体中,E,F分别为棱的中点,G为棱上的一点,且,则点G到平面的距离为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 7、已知向量，，，下列等式中正确的是( ) A. B. C. D. 8、如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( ) A. B. C.向量与的夹角是60° D. 与AC所成角的余弦值为 三、填空题 9、已知，，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是_________. 10、已知正方体的棱长为4，M、N、P分别在棱AB、BC、上，且，，.过M、N、P三点的平面交于点Q，则A、Q两点间的距离为_____________. 11、如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，平面平面PAD,M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值为_______________. 四、解答题 12、如图，直三棱柱的体积为4，的面积为. （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值. 13、如图，三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，B1C＝，AB⊥B1C. (1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC； (2)在棱BB1上是否存在点P，使直线CP与平面ACC1A1所成角的正弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求BP的长． (1)证明　如图，取AB的中点D，连接CD，B1D. 因为三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2， 所以AB⊥CD，CD＝，BD＝1. 又因为AB⊥B1C， 且CD∩B1C＝C，CD，B1C⊂平面B1CD， 所以AB⊥平面B1CD. 又因为B1D⊂平面B1CD， 所以AB⊥B1D. 在Rt△B1BD中，BD＝1，B1B＝2， 所以B1D＝. 在△B1CD中，CD＝，B1D＝，B1C＝， 所以CD2＋B1D2＝B1C2， 所以CD⊥B1D， 又因为AB⊥B1D，AB∩CD＝D，AB，CD⊂平面ABC， 所以B1D⊥平面ABC. 又因为B1D⊂平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面ABC. (2)解　假设在棱BB1上存在点P满足条件．以DC，DA，DB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,1,0)，B(0，－1,0)，C(，0,0)，B1(0,0，)， 因此＝(0,1，)，＝(，－1,0)，＝＝(0,1，)，＝(－，－1,0)． 因为点P在棱BB1上， 设＝λ＝λ(0,1，)，其中0≤λ≤1. 则＝＋＝＋λ＝(－，－1＋λ，λ)． 设平面ACC1A1的法向量为n＝(x，y，z)， 由得 取x＝1，则y＝，z＝－1， 所以平面ACC1A1的一个法向量为n＝(1，，－1)． 因为直线CP与平面ACC1A1所成角的正弦值为， 所以|cos〈n，〉|＝ ＝＝， 化简得16λ2－8λ＋1＝0， 解得λ＝，所以||＝||＝， 故BP的长为. 参考答案 1、答案：D 解析：由题意得，，所以，所以，故选D. 2、答案：B 解析：由题意得,所以.故选B. 3、答案：A 解析：，，解得，又，，解得，则，故选A. 4、答案：C 解析：连接BD，E为PD的中点，.故选C. 5、答案：B 解析：以O为坐标原点，OB,OC,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题易得, 则，，， 分别是AB,AP的中点， ，， ，. 设平面OEF的一个法向量为， 则即 令，可得， 易知平面OAE的一个法向量， 则， 由图知二面角为锐角， 二面角的余弦值为.故选B. 6、答案：D 解析：以D为原点,分别为x轴,y轴,z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系, 则，，，, 因此，，. 设平面的法向量为,则, 令,得, 点G到平面的距