第13讲 线性回归分析-2023年高二数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第13讲 线性回归分析 【题型归纳目录】 题型一：相关关系的理解 题型二：散点图与相关性 题型三：散点图及其应用 题型四：线性相关性的检验 题型五：判断线性相关的强弱 题型六：求回归直线方程 题型七：利用回归直线方程对总体进行估计 题型八：线性回归分析 题型九：非线性回归分析 【知识点梳理】 1、相关关系 两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 2、正相关、负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关． 3、线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近，我们就称这两个变量线性相关． 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 4、相关系数的计算 注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量 假设两个随机变量的数据分别为，对数据作进一步的“标准化处理”处理，，分别除和（和分别为，和的均值），得，为简单起见，把上述“标准化"处理后的成对数据分别记为，则变量和变量的样本相关系数的计算公式如下：． 5、一元线性回归模型 我们称为关于的一元线性回归模型，其中称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的末知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差． 6、线性回归方程与最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征 我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计（leastsquaresestimate）， 其中 【典型例题】 题型一：相关关系的理解 例1．（2022·全国·高二课时练习）下列两个变量间的关系，是相关关系的是（       ） A．任意实数和它的平方 B．圆半径和圆的周长 C．正多边形的边数和内角度数之和 D．天空中的云量和下雨 例2．（2022·全国·高二课时练习）有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积.其中两个变量成正相关的是（       ） A．①③ B．②③ C．② D．③ 题型二：散点图与相关性 例3．（2022·全国·高一课时练习）如下四个散点图中，正相关的是（       ） A． B． C． D． 题型三：散点图及其应用 例5．（2022·全国·高二课时练习）两对变量A和B，C和D的取值分别对应如表1和表2，画出散点图，分别判断它们是否具有相关关系；若具有相关关系，说出它们相关关系的区别. 表1 A 26 18 13 10 4 －1 B 20 24 34 38 50 64 表2 C 0 5 10 15 20 25 30 35 D 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1 034.75 题型四：线性相关性的检验 例6．（2022·全国·高二课时练习）两对变量A和B，C和D的取值分别对应如表1和表2，画出散点图，分别判断它们是否具有相关关系；若具有相关关系，说出它们相关关系的区别. 表1 A 26 18 13 10 4 －1 B 20 24 34 38 50 64 表2 C 0 5 10 15 20 25 30 35 D 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1 034.75 例7．（2022·全国·高二课时练习）某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示. 年龄x(岁) 1 2 3 4 5 6 身高y(cm) 78 87 98 108 115 120 （1）画出散点图； （2）判断y与x是否具有线性相关关系. 题型五：判断线性相关的强弱 例8．（2022·全国·高二课时练习）某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第年与年销量（单位：万件）之间的关系如表： 1 2 3 4 12 28 42 56 在图中画出表中数据的散点图，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并估计它们的相关程度． 附注：参考数据：，，． 参考公式：相关系数 例9．（2022·吉林吉林·三模（文））年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎