28.2.1 解直角三角形 胡不归 学案 2022-2023学年人教版九年级数学下册

28.2.1解直角三角形 胡不归 精讲精练 讲练结合 导学案∙数学∙初三(下) 精讲精练 讲练结合 导学案∙数学∙初三(下) 1 课前预习 【学习目标】 (1)理解胡不归的概念及原理. (2)熟练运用胡不归的概念进行有关计算. (3)能通过三角函数构造图形解决最值问题. 【自学思考】 两条线段和的最值常见类型有如下: 一、PA+PB型 1、 两定一动——将军饮马问题(运用对称) 2、两定两动——过河造桥问题(运用平移+对称) 2、 一定两动(垂线段最短) 二、PA+kPB型 1、胡不归问题 2、阿氏圆问题 你听说过胡不归问题吗? 课堂导学 【学习情境】 从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”,虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,当赶到家时,老人刚咽了气,小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?…”(“胡”同“何”) 而如果先沿着驿道AC先走一段,再走砂石地,会不会更早些到家? 【新知构建】 如图,一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1<V2,A、B为定点,点C在直线MN上,确定点C的位置使的值最小. 【问题分析】 ,记, 即求BC+kAC的最小值. 【问题解决】 构造射线AD使得sin∠DAN=k,CH/AC=k,CH=kAC. 将问题转化为求BC+CH最小值,过B点作BH⊥AD交MN于点C,交AD于H点,此时BC+CH取到最小值,即BC+kAC最小. “胡不归”模型建立: (构造的角的正弦值为PB线段的系数值) 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中,关键是构造与kPB相等的线段,将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型. 而这里的PB必须是一条方向不变的线段,方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段. 【应用新知】 探究点1:三角形与平行四边形中胡不归模型 例1.如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则的最小值是_. . 【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来,只需分析角度的三角函数值,作出垂线DH,即可解决问题,若稍作改变,将图形改造如下: 则需自行构造α,如下图,这一步正是解决“胡不归”问题关键所在. 例2.如图四边形ABCD是菱形,AB=6,且∠ABC=60°,M为对角线BD(不含B 点)上任意一点,则 AM+BM 的最小值为 . 变式思考:本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗? 例3.如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点,则的最小值等于_. 例4.如图,△ABC中,AB=AC=10,∠A=45°,BD是△ABC的边AC上的高,点P是BD上动点,则BP+CP的最小值是( ) A. B. C.10 D. 探究点2:圆中胡不归模型 例5.如图,在△ACE中,CA=CE,CAE=30°,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上. 试说明CE是⊙O的切线;若中AE边上的高为h,试用含 h的代数式表示⊙O的直径AB;设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当CD+OD的最小值为6时,求⊙O的AB的长. 探究点3:二次函数中胡不归模型 例6.在平面直角坐标系中,将二次函数y=ax2(a>0)的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),OA=1,经过点A的一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为D,△ABD的面积为5. (1)求抛物线和一次函数的解析式; (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方,求△ACE面积的最大值,并求出此时点E的坐标; (3)若点P为x轴上任意一点,在(2)的结论下,求PE+PA的最小值. 例7.抛物线与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点. (1)如图1,连接CD,求线段CD的长; (2)如图2,点P是直线AC上方抛物线上一点,PF⊥x轴于点F,PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移,线段OB的对应线段是O1B1,当PE+EC的值最大时,求四边形PO1B1C周长的最小值,并求出对应的点O1的坐标. 【巩固新知】 1.如图,AC是圆O的直径,AC=4,弧BA=120°,点D是弦AB上的一个动点,那么OD+BD的最小值为_. 2.如图所示,菱形ABCO的边长为5,对角线OB的长为4,P为OB上一动点,则AP+OP的最小值为_. D.3 3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=6.点D是在边BC上的动点,则BD+AD的最小值是 . 4.如图,抛