第09-10讲 构造方程,运用方程理论解题 函数与方程、不等式之间的相互转化 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第09讲 构造方程,运用方程理论解题 如果所给出的数学问题从表面上看是非方程问题或给定的方程含有参数或形式较为复杂,就需要凸现其隐含条件,显化方程特征.运用有关方程解的定理(如韦达定理,根的判别式,实根分布的充要条件)使原问题获解,这是方程思想应用的一个重要方面.特别是对于某些非方程问题,通过变形转化成方程问题的过程称之为构造方程法,这是应用方程思想解决非方程问题的一种极富创造的分析.显化或构造方程,运用方程思想解题主要表现在如下4个方面: (1) 转化为解方程或通过不等式讨论根的状况. (2) 转化为带参数的方程或不等式的讨论.常涉及一元二次方程根的判别式、根与系 数的关系、区间根、区间上恒成立等知识. (3) 需要转化为方程的讨论、图形的分析、曲线的位置关系等. (4) 构造方程或不等式求解实际应用问题. 典型例题 【例1】函数的值域是______； 【例2】已知,求正数的最小值. 【例3】 (1) 已知,且,求的值; (2) 设的三内角满足 且 , 求 的值. 【例4】设为实数,且,求的最大值和最小值. 第10讲 函数与方程、不等式之间的相互转化 函数与方程、不等式三者之间密切相关、相互转化,利用方程的思想可以通过待定系 数法求解函数的解析式. 通过把函数等价转化为曲线的方程,借助函数的图像来讨论方程 根的个数(或函数零点的个数), 由于函数又与不等式有着密切的内在联系,因此研究函数 的性质又常常需要用不等式作为工具, 如证明(讨论)函数的单调性,讨论函数的最值等. 在处理不等式恒成立问题时,经常需要通过构造函数,利用函数的图像或性质进行转化, 从而确定相关参数的范围. 函数与方程、不等式之间的相互转化不仅表现在二次函数与一 元二次方程,一元二次不等式这 3 个“二次”上,还表现在指数函数,对数函数,指、对数方 程和指、对数不等式上,在解题中主要表现在如下 4 个方面: (1) 对于函数,我们把使的实数称为函数的零点,实质上函数的零点就是函数的图像与轴的公共点的横坐标,也就是方程的根. (2) 若函数在闭区间上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反, 即,则在区间内,函数至少有一个零点,即相应的方程 在区间内至少有一个实数解. （3）对于一元二次方程根的研究以及一元二次不等式解集的讨论都可以借助于二次 函数的图像找到解题的思路与方法,这就是函数与方程的思想方法. (4) 对于含参数方程,有些可以转化为函数的形式;对于含参数 不等式 或等),有些可以转化为不等式(或等)的形式,进而通过研究函数的图像与性质解决相应的问题.反之,有些函数问题则能转化为方程与不等式的问题. 典型例题 【例1】已知关于的二次方程. (1) 若方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,求的取值范围; (2) 若方程两根均在区间内,求的取值范围. 【例2】已知是实数,函数,如果函数在区间上有 零点,求的取值范围.程.函数在上有零点,即此方程在上有实根(一个解或两个解).再结合图像特征,转化为解不等式,则问题容易解决了. 【例3】（1）函数在上恒为正数,则的取值范围是; A. B. C. D. （２）已知点,椭圆上两点 满足,则当时,点横坐标的绝对值最大. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 构造方程,运用方程理论解题 如果所给出的数学问题从表面上看是非方程问题或给定的方程含有参数或形式较为复杂,就需要凸现其隐含条件,显化方程特征.运用有关方程解的定理(如韦达定理,根的判别式,实根分布的充要条件)使原问题获解,这是方程思想应用的一个重要方面.特别是对于某些非方程问题,通过变形转化成方程问题的过程称之为构造方程法,这是应用方程思想解决非方程问题的一种极富创造的分析.显化或构造方程,运用方程思想解题主要表现在如下4个方面: (1) 转化为解方程或通过不等式讨论根的状况. (2) 转化为带参数的方程或不等式的讨论.常涉及一元二次方程根的判别式、根与系 数的关系、区间根、区间上恒成立等知识. (3) 需要转化为方程的讨论、图形的分析、曲线的位置关系等. (4) 构造方程或不等式求解实际应用问题. 典型例题 【例1】函数的值域是______； 【分析】 本例是三角函数的值域的求解,由于不是常见的三角函数解析式,需 要转化为方程问题,通常是把原函数解析式两边平方得,化正弦为余弦并整理得 ,这是关于的一元二次方程,容易想到 ,即,解得.应用方程思想把函数式变为关于的一元二次方程求解思路是正确的,但是还要注意到,即关于 一元二次方程在上有实根,解数学问题要注意等价转化. 【解析】 【解法一】 由 得, 即 , 整理得 将上述方程看成关于的一元二次方程, . 设 , 得 , 则关于 的一元二次方程在 上有实根, 令 . 即函数的值域