第15-16讲 运用函数与方程思想解解析几何问题 运用函数与方程思想解立体几何问题 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第15讲 运用函数与方程思想解解析几何问题 函数与方程思想在解析几何中的应用非常广泛，特别是体现在直线与圆锥曲线位置关系的研究中.直线与圆雒曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实质是联立方程组消元后讨论一元二次方程是否有实数解或实数解的个数问题，两圆锥曲线的交点问题除了通过方程组讨论外还要考虑曲线的对称性和范围，曲线的特征常常起到关键作用，当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用根与系数的关系设而不求，即代入弦长公式计算弦长，涉及相交弦的中点问题，常用“点差法”设而不求.直线的斜率和倾斜角这些参变量在解题中发挥重要作用，方程理论在解析几何学习中至关重要，利用函数与方程思想解圆锥曲线的最值与范围问题，研究其定值或过定点问题以及曲线的对称性问题是常见的重要题型. 典型例题 【例1】求证：对任意实数，动圆恒过两定点. 【例2】已知圆经过点，且圆心在直线上，又直线与圆相交于 两点. （1）求圆的方程； （2）过点作直线与垂直，且直线与圆交于两点，求四边形面积的最大值. 【例3】如图所示，已知椭圆上两个不同的点关于直线对称. （1）求实数的取值范围； （2）求面积的最大值(为坐标原点). 【例4】设椭圆，过两点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点， 且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，说明理由. 第16讲 运用函数与方程思想解立体几何问题 在立体几何学习中，有些数学问题直接解比较困难，特别是碰到几何体中有变角或变动的线段时，此时可根据题意列出沟通已知量与变量之间的关系，通过函数与方程思想来处理立体几何中由于动点的变化引起的最值，通常建立关于与动点相关的角度的目标函数，转化为函数最值问题求解.若在空间图形中建立空间直角坐标系，利用向量坐标法，结合条件得到方程（组），则可用解方程（组）求出结果，利用函数与方程的思想方法还可以解空间图形中涉及线面关系、面面关系的探究性问题. 【例1】如图所示，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得点重合，得到三棱锥，当的边长变化时，所围得三棱锥体积的最大值为 . 【例2】如图所示，在中，.若平面外的点和线段上的点，满足，则四面体的体积的最大值是 . 【例3】如图所示，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形， （1）求平面与平面所成二面角的余弦值； （2）点是线段上的动点，当直线与所成角最小时，求线段的长. 【例4】正四棱锥的侧棱长为，相邻侧面的二面角多大时，其体积最大? 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 运用函数与方程思想解解析几何问题 函数与方程思想在解析几何中的应用非常广泛，特别是体现在直线与圆锥曲线位置关系的研究中.直线与圆雒曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实质是联立方程组消元后讨论一元二次方程是否有实数解或实数解的个数问题，两圆锥曲线的交点问题除了通过方程组讨论外还要考虑曲线的对称性和范围，曲线的特征常常起到关键作用，当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用根与系数的关系设而不求，即代入弦长公式计算弦长，涉及相交弦的中点问题，常用“点差法”设而不求.直线的斜率和倾斜角这些参变量在解题中发挥重要作用，方程理论在解析几何学习中至关重要，利用函数与方程思想解圆锥曲线的最值与范围问题，研究其定值或过定点问题以及曲线的对称性问题是常见的重要题型. 典型例题 【例1】求证：对任意实数，动圆恒过两定点. 【分析】本例有两种证法：一是运用特殊值法，即取和，求出 或再验证圆系过定点和；二是如果把动圆方程转化为关于实数的一次函数，由这个一次函数恒为零，推出一次项系数及常数项均为零，这就是函数与方程思想的典型应用之一，下面给出的正是这种证法. 【解析】圆系方程可化为， 设. 对恒成立，解得 或 因此，圆系过定点和. 【例2】已知圆经过点，且圆心在直线上，又直线与圆相交于 两点. （1）求圆的方程； （2）过点作直线与垂直，且直线与圆交于两点，求四边形面积的最大值. 【分析】本例的解题核心在第（2）问，求四边形的面积，关键在于选择合适的参数作自变量，容易想到的是选择直线的斜率作为自变量，用斜率的式子表示弦的长度，同理可得弦的长度，也可用含的式子表示，结合图形特征得到函数，进而运用函数思想、方程理论与不等式知识求其最大值.当然，根据圆的几何特征，可以得到一种简捷的解法，供读者赏析. 【解析】（1）由题设知圆的圆心既在的中重线上，又在直线上，易得圆心为原点，半径为， 所以圆. （2）解法一：设四边形 的面积为，当直线的斜率时，则的斜率不存在， 此时； 当直