第17-18讲 运用辅助元法巧解数学题 三角换元——三角学的智慧之果 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第17讲 运用辅助元法巧解数学题 在解题过程中，通过引人一个或几个新变量来代替原式中某些量或式以实现变量替换，从而使问题得以解决，这种解题方法叫作换元法，又称辅助元法，辅助元法的理论根据是等量代换. 辅助元法可以把分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变换为熟悉的形式，把繁难的计算和推理论证简化，从而达到化难为易、化繁为简、化未知为已知的目的，有利于问题的解决.换元中一定要注意新元的约束条件和整体置换策略的运用，适时补充条件以符合原未知数取值范围的要求. 辅助元法的基本步骤如下： （1）把原问题中某个式子或某几个式子分别看成一个整体； （2）引人新元代替这些式子，使以新元为基础的问题较为简洁易解； （3）对以新元为基础的问题进行解答，得出结果； （4）再代回原来的式子中求出原变量的结果. 合理运用辅助元法【分析】，可以使解题能力更上一个台阶. 典型例题 【例1】（1）解方程：； （2）解方程：； （3）解方程：. 【例2】（1）解方程：； （2）已知函数，若实数使得有实根， 求的最小值； （3）方程的两个正数解满足，求的取值范围. 【例3】（1）解不等式：； （2）解不等式：； （3）已知，为锐角，求证：. 【例4】（1）求函数的最小值； （2）设，求的最大值和最小值； （3）已知，证明：，并讨论为何值时等号成立. 第18讲 三角换元——三角学的智慧之果 变量代换是借助于引人新变量来实现问题转化的一种【分析】，新变量的引人没有固定的形式，它依赖问题本身的结构和特点，许多代数题目都可以根据题目的特点，应用三角函数进行适当的代换，结合三角恒等式，将代数问题转化为三角问题，使问题得以简捷地获解，当然，用三角函数或三角函数式代换代数式中的变量时应由旧变量的取值范围 确定新元的取值范围．推而广之，将某一个系统中的问题对应地转化到另一个系统中去解决，这是变量代换最本质的作用． 三角换元主要用来解决如下结构的数学问题： （1）型：可设，去求解．对的取值范围作相应限定，下同． （2）与型：可设或去解． （3）型：可设，去解． （4）型：可设去解． （5）或型：可设或去解． （6）、型：可设，运用万能置换公式去解． （7）型：可设，，运用两角和或差的正切公式去解． 由函数式隐含的几何意义，通过三角换元转化为运用数形结合法去解，如有些问题可在三角换元后转化为直线与二次曲线的关系问题． 典型例题 【例1】（1）求函数的最大值和最小值； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域； （4）已知，求的最值． 【例2】（1）已知实数，，满足，，则的最大值是________； （2）对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为________． 【例3】（1）给定数列，且，求； （2）数列，满足：，，，．求证：对任意的恒有． 【例4】（1）已知，且，求证：； （2），，，均为正数，且，求证：； （3）求证：． （4）设，，是正实数，且，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 运用辅助元法巧解数学题 在解题过程中，通过引人一个或几个新变量来代替原式中某些量或式以实现变量替换，从而使问题得以解决，这种解题方法叫作换元法，又称辅助元法，辅助元法的理论根据是等量代换. 辅助元法可以把分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变换为熟悉的形式，把繁难的计算和推理论证简化，从而达到化难为易、化繁为简、化未知为已知的目的，有利于问题的解决.换元中一定要注意新元的约束条件和整体置换策略的运用，适时补充条件以符合原未知数取值范围的要求. 辅助元法的基本步骤如下： （1）把原问题中某个式子或某几个式子分别看成一个整体； （2）引人新元代替这些式子，使以新元为基础的问题较为简洁易解； （3）对以新元为基础的问题进行解答，得出结果； （4）再代回原来的式子中求出原变量的结果. 合理运用辅助元法【分析】，可以使解题能力更上一个台阶. 典型例题 【例1】（1）解方程：； （2）解方程：； （3）解方程：. 【分析】通过换元化无理为有理，思考的方法是对的，但上述方程中无理式不止一个，关键要认清这些无理式之间的关系，即通过运算或变形有可能得到什么结果，第（1）问可采用平均代换，第（2）（3）问可引进两个新元，寻求两个新元之间的联系. 【解析】（1）令，则.由上述两式平方之差，有 ，即. 于是，即. 从而，即，解得 经检验，是原方程的解. （2）设，于是有方程组； 当，得： ③ 由①和③解得：，. 解这个方程得： 当时，适合原方程.所以原方程的解是 （3）注意到三次根式与的立方和为常数. 故可设，则. 又由原方程得，即. 从而， . 于是是方程的两个根，解得 当时，