第19-20讲 变元四大策略：均值代换、和差代换、倒置代换、常值代换 参变分离——一种“反客为主”的解题法 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第19讲 变元四大策略：均值代换、和差代换、倒置代换、常值代换 换元法解题运用比较多的除了整体代换、局部代换、对称代换外尚有一些技巧性较强的变元策略，它们依次是均值代换、和差代换、倒置代换、常值代换． 均值代换中的均值是指个变量的算术平均数，当其为定值时可运用“算术---几何平均不等式”即基本不等式直接予以解答或证明． 如果题设有（常数）的形式，则可引入参数，分别用，代换和，用和差代换解决某些数学问题，简洁明快． 根据题设中数或式的结构特征，利用倒置变换的方法，轻松实现难以人手问题的转换，化难为易，方法灵活． 常值代换是指变换题中已知数与末知数的角色，将“已知”暂时化为“末知”，“末知”又暂时看作“已知”，以此人手解题，非常巧妙，独树一帜． 典型例题 【例1】（1）设，，均为非负实数，求证：； （2）设，为正数，，证明：． 【例2】（1）设，是方程的两个根，求证：对一切自然数，都是偶数； （2）在中，，，分别是角，，的对边，设，，求的值； （3）已知，，，．证明：． 【例3】已知数列，若对，都有且． 试证：． 【例4】（1）设，都是正数，且，证明：； （2）解方程：． 第20讲 参变分离——一种“反客为主”的解题法 通常解答数学问题总是习惯于把注意力集中在主变元上，思考探求参变元的取值或其范围，这种思考问题的方法当然可以，但不一定是一条好的思路，即使能解但其过程会非常烦琐．若密切注意命题的求解趋势，依从条件与结论的内在联系变换思考方向，视其参变元为主变元进行研究，推导，也能找到解决问题的途径，有时还能获得问题的妙思巧解，这就是参变分离，一种“反客为主”的方法．参变分离法就是把所求参变量与其他变量分离开来，通过研究其他变量构成的解析式的性质来确定所求参变量的范围．这一解法具有思路清晰、有章可循，易于操作等特点． 参变分离法主要用于解以下题型： （1）函数或方程中求参数的范围问题； （2）不等式恒成立和能成立问题中求参数的范围问题． 典型例题 【例1】（1）设关于的方程在区间[0,2]内有解，求实数的取值范围； （2）已知方程有解，试确定实数的取值范围． 【例2】（1）若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则实数的取值范围是________； （2）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是________； （3）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围． 【例3】（1）设函数，其中，是任意给定的自然数，且，若当时，有意义，求的取值范围； （2）已知函数（其中）在区间上不单调，求的取值范围． 【例4】（1）对于，恒成立，求实数的范围； （2）求实数的取值范围，使得对任意实数和任意，恒有． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 变元四大策略：均值代换、和差代换、倒置代换、常值代换 换元法解题运用比较多的除了整体代换、局部代换、对称代换外尚有一些技巧性较强的变元策略，它们依次是均值代换、和差代换、倒置代换、常值代换． 均值代换中的均值是指个变量的算术平均数，当其为定值时可运用“算术---几何平均不等式”即基本不等式直接予以解答或证明． 如果题设有（常数）的形式，则可引入参数，分别用，代换和，用和差代换解决某些数学问题，简洁明快． 根据题设中数或式的结构特征，利用倒置变换的方法，轻松实现难以人手问题的转换，化难为易，方法灵活． 常值代换是指变换题中已知数与末知数的角色，将“已知”暂时化为“末知”，“末知”又暂时看作“已知”，以此人手解题，非常巧妙，独树一帜． 典型例题 【例1】（1）设，，均为非负实数，求证：； （2）设，为正数，，证明：． 【分析】运用基本不等式证明不等式有时会出现“放缩过头”的状况，而使证明陷入僵局，第（1）问，如用，则有，同理，，于是有，而实际上，，，，可得，两者矛盾，说明上述用来缩小有点过头，所以用均值代换应当把握好放缩的尺度，注意“适度”．第（2）问，对于这样的条件，除了想到一般的基本不等式外，还应注意“”的妙用．乘以或除以“”，表达式的值均不变，这样往往可以把原表达式表示成更有明显特征的表达式，有利于证明过程的实施． 【解析】证明：（1）由得，即． 也即，同理可得，． 所以． （2），．又，． ， 由题意，得，，当且仅当时等式成立． ， 当且仅当时取“=”， 所以． 【例2】（1）设，是方程的两个根，求证：对一切自然数，都是偶数； （2）在中，，，分别是角，，的对边，设，，求的值； （3）已知，，，．证明：． 【分析】 本例各题用和差代换证明或求解，可起到“降元”的作用，从而变繁为简，化难为易． 【解析】（1）证明：由方程根与系数关系，，． 故令，，由得．． 因此都是偶数． （2）．可设，，即， ，， 由可得．，故．，，． 则，， 因此． （3）证明设，，，则．原不等式等价于． 根据，