第23-24讲 数形转化和知识板块之间的转化相交融 以数辅形三大法宝（代数法、解析法、向量法） 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第23讲 数形转化和知识板块之间的转化相交融 数形转化的关键是构造法,数转化为形,即根据所给代数式的结构特征,构造出与之相对应的几何图形,用几何方法来解决代数问题;形转化为数, 即用代数方法研究几何问题,这是解析几何的基本特征,通过数形转化实现了知识板块之间的转化,也开拓了自己的思维视野. 典型例题 【例1】 求函数 的最值. 【例2】 关于 的二次方程 中, 都是复数, 且 , 设这个方程的两个根 满足 , 求 的最大值和最小值. 【例3】 设 , 求证: . 【例4】已知 , 求 的最大值. 第24讲 以数辅形三大法宝（代数法、解析法、向量法） 以数辅形代数法,通常由题设构建函数模型并结合其图像解决求参数的取值范围, 研究方程根的范围,研究量与量之间的大小关系, 研究函数的最值问题和证明不等式;以数辅形解析法就是运用代数的方法研究几何问题,借助几何轨迹所遵循的数量关系.借助运 算结果与几何定理的结合;以数辅形向量法就是通过向量坐标的代数运算研究图形问题. 数形结合,贵在结合,要充分发挥两者的优势,“形”有直观、形象的特点,但代替不了具体的运算和证明,在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式,而“数”才是其真正的主角,若忽视这一点, 很容易造成对数形结合的误用,务必引起注意. 典型例题 【例1】当正数 为何值时,抛物线 与椭圆 有 4 个不同的交点. 【例2】设线段 两端点在拋物线 上移动, 为线段 的中点, 为 大于零的常数),求 到 轴的最短距离. 【例3】 如图 所示,在四棱雉 中, 平面 , (1) 证明 ; (2) 求二面角 的正弦值; (3) 设 为棱 上的点, 满足异面直线 与 所成的 角为 , 求 的长. 【例4】在直角坐标系 中, 已知点 , 点 在 三边围成的区域(含边界)上. (1) 若 , 求 ; (2) 设 , 用 表示 , 并求 的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 数形转化和知识板块之间的转化相交融 数形转化的关键是构造法,数转化为形,即根据所给代数式的结构特征,构造出与之相对应的几何图形,用几何方法来解决代数问题;形转化为数, 即用代数方法研究几何问题,这是解析几何的基本特征,通过数形转化实现了知识板块之间的转化,也开拓了自己的思维视野. 典型例题 【例1】 求函数 的最值. 【分析】 本例给出的函数解析式较为复杂(既含偶次根式, 又是分式),若拘泥于代数方法解必然产生心理障砧,所以对本题的分析必须再深入一步,有意识地从“数”和 "形”两个方面进行感知活动,促使“数”与“形”之间的转化, 由 可联想到直线的斜率公式 , 则一个函数求最值的问题立即转化为解析几何中的问题. 【解析】 可看作点 与动点 的连线的斜率. 而点 在半圆 上, 故原题即求点 与半圆 上的点的连线的斜率的最值, 如图 可知, 当 为 时, 斜率最大, 为 ; 当 切半圆于 时, 的斜率最小,设此时 的斜率为 的方程为 . 由 ,得 (舍去), . 故 . 【例2】 关于 的二次方程 中, 都是复数, 且 , 设这个方程的两个根 满足 , 求 的最大值和最小值. 【分析】 复数与复平面上的点以及以原点为起点, 该点为终点的向量三者之间建立了一一对应关系,求复数问题可以转化为向量的运算来解,也可以转化为复数方程的 几何意义来解,这就是代数问题几何化的解题策略,它的优点是直观,避免了憼杂元长的计算与推理, 本例中根据 是关于 的二次方程 两根的条件,结合 与 的关系把 转化为关于 的方程,利用方程的几何意义求 的最大值与最小值,解法既直观又简捷. 【解析】由韦达定理得 如图 所示,复数 的对应点 在以 为圆心, 7 为半径的圆上. 【例3】 设 , 求证: . 【分析】, 显然表示为以 为边夹角为 的三角形的第三边的平方 (余弦定理可得),于是这道不等式证明题立即转化为几何问题,即构造四面体“模型”解题. 【解析】证明 由题设 , 有 , 由余弦定理, 此式表示以 为边所夹角为 的三角形的第三边, 同理 也有类似的几何意义. 这样,我们构造出顶点为 的四面体 , 如图 所示. 使 , , 则有 , 四面体 的底面是 , 有 . 即 . 【例4】已知 , 求 的最大值. 【分析】 本题若从代数的角度考虑, 直接代入消元后求最值,将很难顺利解决, 所以应当挖掘题中条件和结论所蕴含的几何意义,将条件 变形为 . 可以看作直线 , 过定点 , 这是解决本题的一个突破口,结论 可以看作 的内切圆的直径, 原问题相当于求 内切圆直径的最大值,这是解决本