第35-36讲 运用“对称变换”的思想方法解题 构造“对偶式”，巧解数学问题 讲义-2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧

第35讲 运用“对称变换”的思想方法解题 在中学数学中，对称的问题主要有以下 4 种形式: 1. 中心对称: ①点关于点的对称；②曲线关于点的对称。 2. 轴对称: ①点关于直线的对称； ②曲线关于直线的对称。 3. 平面对称: ①点关于平面的对称； ②曲线关于平面的对称。 4. 多项式对称: ①一般轮换对称； ②顺序轮换对称。 几何中的轴(面)对称和中心对称是最直观的对称，平面图形绕其内一定点旋转 的变换，也是常见的对称变换。 典型例题 【例1】定理一: 函数 满足 的充要条件是 的图像关 于直线 对称。 定理二: 函数 满足 的充要条件是 的 图像关于点 成中心对称。 定理三: 函数 满足 为奇函数的充要条件是 的图像关于点 成中心对称(注:若 不属于 的定义域，则 不 存在． 依次解答如下问题: (1) 设函数 的图像关于直线 对称， 若 时， ， 求 时 的解析式； (2) 若函数 的图像关于点 中心对称，求 的值； (3) 已知函数 在 上的图像关于点 中心对称， 且当 时 。 根据定理二求出 在 上的解 析式； (4) 设函数 在定义域 上的图像都是关于点 中心对称， 则对于函数 及 ，指出其中一个函数的图像一定关于点成中心对称，再指出其中一个函 数的图像可以不关于点中心对称， 并分别说明理由； （5）讨论函数 的图像的对称性。 【例2】在平面直角坐标系 中， 平行于 轴且过点 的人射光线 被直线 反射，反射光线 交 轴于点 (如图 所示 圆 过点 且与 相切。 1 求所在的直线的方程和圆的方程。 2 设 分别是直线 和圆 上的动点， 求 的最小值及此时点 的坐标。 【例3】 (1) 已知直线 过原点， 抛物线 的顶点在原点， 焦点在 轴正半轴上， 若点 和 关于 的对称点都在 上， 求直线 和抛物线 的方程； (2) 是否存在实数 ， 使抛物线 上总有关于直线 对称的两个 点? 若不存在，说明理由；若存在，求 的取值范围。 【例4】在平面直角坐标系中， 点 到点 的距离的 4 倍与它到直线 的距离的3倍之和记为。 当点运动时，恒等于点的横坐标与18之和。 (1) 求点的轨迹的方程； (2) 设过点的直线与轨迹相交于 两点，求线段 长度的最大值。 第36讲 构造“对偶式”，巧解数学问题 在解答某些数学问题时，针对已知式 的结构特征，构造一个或几个与之相关联的 式子 ， 使 与 经过相加、相减、相乘、相除等运算之后，所需解答的问题得到合理的转化和解决。 这种解题方法称之为构造“对偶式”解题，是一种极其巧妙的解题方法。 通过构造对偶式可以巧妙地解决多项式求值、恒等式证明、求函数的最值、解方程 （组以及求解析式等， 当然难点在于如何构造解题所需要的“对偶式”。 典型例题 【例1】求证: 。 【例2】 已知 是方程 的两根， 且 ， 不解方程， 求 的值。 【例3】求下列各式的值： (1) ； (2) 。 【例4】(1) 若函数 满足 (其中 是不等于零的常数， 且，求函数的解析式； （2）已知函数 满足 ， 求 的值域； ，求。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第35讲 运用“对称变换”的思想方法解题 在中学数学中，对称的问题主要有以下 4 种形式: 1. 中心对称: ①点关于点的对称；②曲线关于点的对称。 2. 轴对称: ①点关于直线的对称； ②曲线关于直线的对称。 3. 平面对称: ①点关于平面的对称； ②曲线关于平面的对称。 4. 多项式对称: ①一般轮换对称； ②顺序轮换对称。 几何中的轴(面)对称和中心对称是最直观的对称，平面图形绕其内一定点旋转 的变换，也是常见的对称变换。 典型例题 【例1】定理一: 函数 满足 的充要条件是 的图像关 于直线 对称。 定理二: 函数 满足 的充要条件是 的 图像关于点 成中心对称。 定理三: 函数 满足 为奇函数的充要条件是 的图像关于点 成中心对称(注:若 不属于 的定义域，则 不 存在． 依次解答如下问题: (1) 设函数 的图像关于直线 对称， 若 时， ， 求 时 的解析式； (2) 若函数 的图像关于点 中心对称，求 的值； (3) 已知函数 在 上的图像关于点 中心对称， 且当 时 。 根据定理二求出 在 上的解 析式； (4) 设函数 在定义域 上的图像都是关于点 中心对称， 则对于函数 及 ，指出其中一个函数的图像一定关于点成中心对称，再指出其中一个函 数的图像可以不关于点中心对称， 并分别说明理由； （5）讨论