27.2相似三角形利用旋转解决全等、相似问题　学案　2022-2023学年人教版数学九年级下册

27.3相似三角形 利用旋转解决全等、相似问题 【学习目标】 1.利用旋转相似解决手拉手模型； 2.利用旋转相似解决半角模型. 【新知构建】 类型一　手拉手模型 1. 全等型手拉手 在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，绕公共顶点A旋转α度，连接BD、CE交于点P. 【结论】△CAE≌△BAD(SAS)，BD＝CE，∠BPC＝∠BAC＝α(“8字型”证角相等) 2. 相似型手拉手 如果题目中出现“等顶角，共顶点，非等线段”时，只要构造一个等角就能找到一对相似三角形．旋转型相似模型如下： 【结论】△AOB∽△COD，且 【应用新知】 【例1】如图，在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE、BD. (1)求证： △ACE≌△BCD； (2)求证：AE⊥BD. 【例2】如图，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交 BD的延长线于点 M. (1)求 出的值； (2)求∠AMB的度数. 【巩固新知】 练习1　如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，F为BD、CE的交点． (1)求证：BD＝CE； (2)连接AF，求证：AF平分∠BFE. 【解题策略】 解题思路：1.识别手拉手模型；2.相似必成双，要能找到产生的新相似；3.结合两对相似，利用对应角相等，对应边成比例等相关知识解决. 随堂检测 近10年真题精选 1. 如图①，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若∠AGD＝∠BGC. (1)求证：AD＝BC； (2)求证：△AGD∽△EGF； (3)如图②，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值． 类型二　半角模型 1. 含45°的半角模型 【条件】如图，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，绕点A顺时针旋转△ADF到△ABG，使AD与AB重合． 【结论】①△AEF≌△AEG；②EF＝EG＝BE＋DF. 2. 含60°的半角模型 【条件】已知△ABC为等边三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，绕点D顺时针旋转△DBE到△DCG，使DB与DC重合． 【结论】①△DEF≌△DFG；②EF＝GF＝BE＋CF. 3. 含30°的半角模型 【条件】△ABC是等边三角形，∠DAE＝30°，旋转△ABD至△ACF； 【结论】①△ADE≌△AFE；②∠ECF＝120°； ③C△ECF＝BC. 【应用新知】 【例3】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，分别连接EF、AE、AF，∠EAF＝45°. 求证：(1)EF＝BE＋DF； (2)AF平分∠EFD. 【例4】如图，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN. (1) 探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由． (2)若△ABC的边长为2，求△AMN的周长． 【巩固新知】 练习2　如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E是边BC上的动点，连接AD，AE，且∠DAE＝45°，作点D关于直线AE的对称点F，连接AF，CF，DF，EF. (1)求证：△ABD≌△ACF； (2)若BD＝1，DE＝2，求CE的长． 【解题策略】 解题思路：(1)找共顶点的等边；(2)旋转等边所在的三角形使得两条等边重合，构造全等三角形；(3)注意是否要考虑三点共线． 随堂检测 2. 如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝DF，AE、AF分别与BD交于点G、H，过点G作GN⊥AF，垂足为M，交AD于点N. (1)求证：AH＝GN； (2)若∠EAF＝45°，求证：； (3)如图②，过点G作GQ⊥AD，垂足为Q，交AF于点P.若GM＝3MN，求的值 备用图 学科网（北京）股份有限公司 $