27.2相似三角形的基本图形——射影型，母子型，一线三等角　学案　2022-2023学年人教版数学九年级下册

27.2 相似三角形的基本图形——射影型、子母型、一线三等角 精讲精练 讲练结合 导学案∙数学∙初三（下） 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 课前预习 【学习目标】 1．能够应用相似解决基本问题 2．会识别基本图形，应用基本图形构造相似三角形。 【自学思考】 回顾：证明三角形相似的方法？ 课堂导学 【学习情境】 一、子母型 已知：∠ 1=∠2 结论：△ACD ∽△ABC “子母型”相似的图形特点： ①有一个公共角 ②一对完全重合的边 ③一对半重合的边 ④一对完全不重合的边 ⑤子母型的结论：AB²=AD·AB (重合边的平方等半重合边的乘积) 特殊的子母型（双垂直型）（上右图） 二、射影定理 在中，，于D． 射影定理：（1）； （2）； （3）． 注意：（1）射影定理可以直接用，是用来证明的． （2）射影图形中，另外有下面的关系． ①角的相等关系：，． ②同一三角形中三边的平方关系： 、、． 三、一线三等角模型 1、如图，，，． （1），则． （2）※． （3）当是中点时，则有． 2、如图，． （1），则． （2）※． （3）当是中点时，则有． 【应用新知】 例1.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面积为15．那么△ACD的面积为 ． 例2.如图，在中，，点P、D分别是边上的点，且． （1）求证：； （2）若，当PD∥AB时，求BP的长． 例3（1）如图，已知AD是斜边上的高，则下列各式中不正确的是（　　）． A． B． C． D． （2）如图，AD是斜边上的高，已知，，______， _______，________． 例4（1）如图1，在中，于D，于E，于F．求证：． 图1 （2）如图7-2，在中，AD是斜边BC上的高，于E，于F，求证：． 图2 例5（1）如图1-1，AB//CD，，E为BC上一点，且．若，，，则DE的长为______． 图1-1 图2-2 （2）如图2-2，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为，将矩形沿对角线AC翻折，使得B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，则D点坐标为___________． 例6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为BC边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B. （1）求证：△ABP∽△PCM； （2）设BP＝x，CM＝y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△APM为等腰三角形时，求PB的长. 【巩固新知】 1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于点F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，则DE：BC＝　 　． 2.已知△AMN是等边三角形，∠BAC=120o．求证： （1）AB2=BMBC； （2）AC2=CNCB； （3）MN2=BMNC． 3.已知，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，若坐标轴上存在一点C，使得是直角三角形，则C点坐标为_________________． 4.如图，在四边形ABCD中，．过C点做对角线BD的垂线，分别交BD，AD于点E、F，连接AC，求证：． 5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝10，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且∠ADE＝∠C. （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果BD＝x，AE＝y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由. 【解题策略】 同学们要在平时学习中，要注意了解基本图形，识别基本图形，积累基本图形，学会应用基本图形。 随堂检测 1．如图所示，能判定△ABC∽△DAC的有 ． ①∠B=∠DAC；②∠BAC=∠ADC；③AC2=DCBC；④AD2=BDBC 2.点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF． （1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED； （2）若DE=2CE，求OF的长． 3.如图，已知AD、CF是的两条高，与E，交CB延长线于G，交AD于H，求证：． 4.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是BC上的一个动点（与B，C不重合），PE⊥AB于点E，PF⊥BC交AC于点F，设PC＝x，△PEF的面积为y. （1）写出图中