27.2.1相似三角形的判定（4）学案　2022-2023学年人教版数学九年级下册

第二十七章 相似三角形 27.2.1相似三角形的判定（4） 第四课时 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 课前预习 【学习目标】 1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理. 2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点) 3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算. 【自学思考】 问题：观察两副三角尺，其中有同样两个锐角（30°与 60°，或 45°与 45°）的两个三角板大小可能不同，它们相似吗？ 在△ABC 与△A′B′C′中，如果满足∠B=∠B′， ∠C=∠C′，那么能否判定这两个三角形相似？试着证明． 课堂导学 【学习情境】 学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干.小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？ 【新知构建】 探究点1：两角分别相等的两个三角形相似 操作 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55°，探究下列问题： 问题1 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？ 问题2 试证明：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上，截取A′D=AB，过点 D 作 DE // B′C′，交 A′C′ 于点 E，【补全证明过程】 【要点归纳】由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似. 符号语言：∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 【应用新知】 【例1】如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 °． 求证：△ABC∽△DEF. 【巩固新知】 如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=50°，∠B=75°，∠A' = 50°，当∠C'= 时，△ABC∽△A'B'C'. 【例2】如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB=PC · PD. 证明：连接AC，DB. ∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角， ∴ ∠A= _____， 同理 ∠C= ___ ____， ∴ △PAC ∽ △PDB， ∴__ ___ ，即PA ·PB = PC · PD. 如图，⊙O 的弦 AB，CD 交于点 P，若 PA=3，PB = 8，PC = 4，则 PD = . 【分析】此图中，没有完整的三角形出现，根据题目给的四条边，可以知道，它们属于 △BCP和△ADP因此连接AD、BC，根据圆周角的性质得到解题所需角度，进而求解 【解题策略】 由两组角分别相等判定两个三角形相似，其关健是找准对应角.一般地，相等的角是对应角，如:公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件. 探究点2：判定两个直角三角形相似 【例3】如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长. 【要点归纳】由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 思考 对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等.那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 证明 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∠C=90°，∠C′=90°，. 求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. 【要点归纳】由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 【应用新知】 【例4】如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD =，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似． 【分析】观察得到AB和AC分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论. 【巩固新知】 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A=35°，∠B′=55°： ； (2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ； (3)AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： . 【解题策略】 判定两个直角三角形相似的方法： (1)有一个锐角相等的两个直角三角形相似. (2)两组直角边成比例的两个直角三角形相似. (3)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似. 随堂检测 1. 如