27.2.1 相似三角形的判定 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似学案2022-2023学年人教版九年级下学期册数学

27.2.1 相似三角形的判定 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 精讲精练 讲练结合 导学案∙数学∙初三(下) 1 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 课前预习 【学习目标】 1.理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义,能分清条件和结论,并能用文字、图形和符号语言表示;(重点) 2.会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似,并解决简单的问题.(难点) 【自学思考】 1.回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证明三角形全等的方法,猜想证明三角形相似还有哪些方法? 2.类似于判定三角形全等的 SAS 方法,能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢? 课堂导学 【学习情境】 操作 利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′,使∠A≥∠A′,,量出 BC 及 B′C′ 的长,它们的比值等于 k 吗?再量一量两个三角形另外的两个角,你有什么发现?△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系? 思考 改变 k 和∠A 的值的大小,是否有同样的结论? 证明 如图,在△ABC与△A′B′C′中,已知∠A≥ ∠A′,, 求证:△ABC∽△A′B′C′. 证明:在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D,使A′D≥AB.过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.【补全后面的证明过程】 【应用新知】 【类型一】 直接利用判定定理判定两个三角形相似 已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,点D、E分别是AB、CB延长线上的点,CE=9,AD=15,连接DE.若BC=6,AC=8,求证:△ABC∽△DBE. 【类型二】 添加条件使三角形相似 如图,已知△ABC中,D为边AC上一点,P为边AB上一点,AB=12,AC=8,AD=6,当AP的长度为_时,△ADP和△ABC相似. 【类型三】 利用三角形相似证明等积式 如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,E为BC的中点,ED的延长线交CA的延长线于F.求证:AC·CF=BC·DF. 【类型四】 利用相似三角形的判定进行计算 如图所示,BC⊥CD于点C,BE⊥DE于点E,BE与CD相交于点A,若AC=3,BC=4,AE=2,求CD的长. 【类型五】 利用相似三角形的判定解决动点问题 如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,5AC-3AB=0,点P从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,与此同时点Q从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动,经过多长时间△ABC和△PQC相似? 【巩固新知】 1.根据下列条件,判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似,并说明理由: ∠A≥120°,AB≥7 cm,AC≥14 cm, ∠A′=120°,A′B′=3 cm ,A′C′=6 cm. 2.如图,△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形,AD≥AE,AB≥AC,∠DAB≥∠CAE. 求证:△ABC ∽△ADE. 3.如图,D,E分别是 △ABC 的边 AC,AB 上的点,AE≥1.5,AC≥2,BC≥3,且,求 DE 的长. 4.如图,在 △ABC 中,CD 是边 AB 上的高,且,求证: ∠ACB≥90°. 【解题策略】 随堂检测 1. 判断 (1) 两个等边三角形相似 ( ) (2) 两个直角三角形相似 ( ) (3) 两个等腰直角三角形相似 ( ) (4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 ( ) 2. 如图,D 是 △ABC 一边 BC 上一点,连接 AD,使△ABC ∽ △DBA的条件是( ) A. AC : BC≥AD : BD B. AC : BC≥AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC 第2题图 第3题图 3. 如图 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相似”) . 4. 如图,在四边形 ABCD 中,已知 ∠B =∠ACD, AB≥6,BC≥4,AC≥5,CD≥,求 AD 的长. 5. 如图,∠DAB =∠CAE,且 AB · AD = AE·AC,求证 △ABC ∽△AED. $