5.2.3简单复合函数的导数（课件+教案）-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精品备课（人教A版2019选择性必修第二册）

简单复合函数的导数 1.课时教学内容 简单复合函数的导数 2.课时学习目标 (1) 通过实例知道复合函数的概念 (2) 通过具体实例学会复合函数的求导法则（数学推理、数学抽象） (3) 利用复合函数求导及导数运算法则能求简单的复合函数的导数.（数学运算） 3.教学重点与难点 重点∶复合函数的概念及求导法则。 难点∶复合函数的导数。 4.教学过程设计 环节一 复习回顾 （1）基本初等函数的导数 (2)求切线方程的步骤： (1)求函数的导数 (2)求切点坐标 (3)求切线的斜率 (4)根据直线方程的点斜式写出切线方程即， (3) 导数的运算法则 1) 2) 3) 4) 环节二 新知探究 预习课本第78～79页，思考并完成以下问题 问题1：？ 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)) 补充说明： 问题2：如何求函数导数？ 现有的方法无法求出它的导数。 1.用定义不能求出极限。 2.不是基本初等函数，没有求导公式。 3.不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算解决这个问题。 思考：如何求复合函数的导数呢？ 以函数为例，研究其导数 为复合函数，由而成,猜想：与的导数有关,以先的导数, . 观察：，，有什么发现？ 追问1：此公式通用吗？ 换个函数试试， 新知生成：复合函数的求导法则 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 环节三 例题讲解 例1： 求下列函数的导数. (1) (2) 解答： （1）设y=u5,u=2x+1,则: （2）设y=u-4,u=1-3x,则: 例2：求下列函数的导数. 解答： 法一: 法二: 归纳总结： 求复合函数的导数的策略 利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量的系数,求导后,要把中间变量转换成自变量的函数. 环节三 当堂检测 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的复合过程是． (　　) (2)则＝． (　　) (3)则 答案：（1）√（2）ⅹ（3）ⅹ 环节五 课后作业 课本81页。练习题的第1题第2题第3题。 求证：双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交点处的切线互相垂直. 证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一个交点处的切线互相垂直即可.联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨证明过P点的两条切线互相垂直.由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得, ，同理可得=-，所以两切线垂直。 【巩固练习】 1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 答案　BCD 2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　) A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋ C．2xln(2x＋5) D. 答案　B 3．函数y＝x3ecos x的导数为(　　) A．y′＝3x2ecos x＋x3ecos x B．y′＝3x2ecos x－x3ecos xsin x C．y′＝3x2ecos x－x3esin x D．y′＝3x2ecos x＋x3ecos xsin x 答案　B 4．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　) A．2e B．e C．2 D．1 答案　C 5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案　B 6．函数y＝sin 2xcos 3x的导数是     ． 答案　y′＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x 7．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝f′sin 3x＋cos 3x，则f′＝     . 答案　3 8．点P是f(x)＝(x＋1)2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是        ，此时点P的坐标为        ． 答案　　 9．求下列函数的导数： (1)y＝ln(ex＋x2)； (2)y＝102x＋3； (3)y＝sin4x＋cos 4x. 解　(1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u. ∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝. (2)令u＝2x