预习案04 空间向量中直线与平面的关系-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019选择性必修第二册）

预习案04空间向量中直线与平面的关系 【学习目标】 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量. 2.熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系． 3.熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系． 【基础知识】 知识点一　空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 知识点二　空间中直线的向量表示式 直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝＋ta，① 把＝a代入①式得 ＝＋t，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 思考　直线的方向向量是不是唯一的？ 答案　直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量． 知识点三　空间中平面的向量表示式 1．平面ABC的向量表示式 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.③ 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． 2．平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 思考　平面的法向量是不是唯一的？ 答案　一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取． 知识点四　线线平行的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 知识点五　线面平行的向量表示 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 知识点六　面面平行的向量表示 设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 思考　怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？ 答案　证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路 (1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定． 知识点七　线线垂直的向量表示 设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 知识点八　线面垂直的向量表示 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 知识点九　面面垂直的向量表示 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 【典型例题】 一、直线的方向向量 一、单选题 1．（2021春·北京·高二校考期中）直线的方向向量分别为，则（    ） A． B．∥ C．与相交不平行 D．与重合 2．（2022春·北京朝阳·高一校考期中）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（2022·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，，H是的中点，建立适当的空间直角坐标系，求线段，EF，，FH所在直线的一个方向向量． 4．（2022·高二课时练习）如图，已知长方体中，，，，建立空间直角坐标系，分别求直线与AC的方向向量． 二、求平面的法向量 一、填空题 1．（2022春·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）直线的方向向量是，平面的法向量，若直线平面，则______． 2．（2022秋·上海松江·高二统考期末）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线⊥平面，则实数的值为________. 3．（2022春·河南信阳·高二统考期中）平面的法向量为，平面β的法向量为，若，则m=_________. 4．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则__________，__________． 三、证明线线平行 1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形． 2．已知向量 a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y) 分别是直线 l1，l2 的方向向量，若 l1∥l2 ，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 四、证明线面平行 1．（2022春·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期中）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2022·全国·高二假期作业）如图，已知四棱锥的底面是矩形，平面分别是棱的中点． (1)求